exo !!

salut , voilà un nouveau exercice :
1) montrer que : quelque que soit x de R: [x+1/2]=[2x]-[x] ([la partie entière])
2) bassit l majmou3: S_n=[ (x+1)/2] +[(x+2)/4] +.....+[(x+2^n)/ 2^(n+1)]
et merci.

bonjour

remarque :

pour tout x réel : x = E(x) + a , E(x)=[x] et a dans [0 , 1[

1er cas : a dans [0, 1/2[ alors:
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x + 1/2 = E(x) + a + 0,5 = E(x) + b avec b=a+0,5 dans [0, 1[

donc E(x + 1/2) = E(x)

2x =2E(x) + 2a = 2E(x) + c avec c=2a dans [0,1[

donc E(2x) =2E(x)

conclusion : E(x + 1/2) = E(2x) - E(x)
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2ieme cas : a dans [1/2 , 1[ donc a=0,5 + b avec b dans [0, 1/2[
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x + 1/2 = E(x) + 0,5 + b + 0,5 = E(x)+1 + b

donc E(x + 1/2) = E(x) + 1

2x = 2E(x) + 1 + 2b et 2b dans [0,1[

donc E(2x) = 2E(x) + 1

conclusion : E(x + 1/2 ) = E(2x) - E(x)
---------------------------------------------

2) Sn = E( x/2 + 1/2) + E( x/4 + 1/2 ) + E( x/8 + 1/2 ) ..............

......................... + E( x/2^(n+1) + 1/2 )

D'après 1) on aura
Sn = E(x) - E(x/2) + E(x/2) - E(x/4) + E(x/4) - E(x/ +..............
.......................... + E(x/2^n) - E(x/2^(n+1))

Sn = E(x) - E(x/2^(n+1))
------------------------------------

svp ns avons pas fé la leçon de la partie entiere l'année derniere é je trouve vraiment bcp de difficultés dans la résolutions de certains exos . pouvez vous me donnez des exos avec solutions ?? ou bien juste les regles qu'on doit assimilé ?? merci

voila c'est le meme cas pour moi , moi aussi je l'ai pas etudié

aide plizzz ?

pour ceux qui ignorent la partie entière:

Tout réel x peut être encadré par deux entiers consécutifs

exp : 3 < 3,57 < 4 E(3,57) = 3
-4 < -3,615 < -3 E(-3,615) = -4

exeption : x entier E(x) = x

Plus généralement :
E(x) est l'entier < x , le plus proche de x


quelques propriétés utiles

E(x) <= x < E(x) +1

x - 1 < E(x) <= x

safi ?? ya pa d'autres regles ??