EXOO6 ==>...

slt monim:

je pense qu'il y a une petite faute dans la fonction que tu viens de poster..

f(x)= (1/b-x)+(1/a-x)

et non pas ce que tu as écrit...

f(y)=1/(a-y)+1/(b-y)=x
<=>(a+b-2y)/(ab-ya-yb+y^2)=x
<=>a+b-2y=xab-xya-ybx+xy^2
<=>xy^2+y(-xa-xb+2)-(a+b-xab)=0
tu calcule delta puis tu conclus

ui urika
mercii

salam



alors f est strictement croissante sur ]a,b[ et continue
donc f est une bijection de ]a,b[ vers f(]a,b[)
on a

alors f(]a,b[)=R

est on a

bosoir

pour la bijection:
--------------------
f est rationnelle définie , continue ,dérivable sur ]a,b[
f '(x) = 1/(a-x)^2 + 1/(b-x)^2 > 0
f est donc stictement croissante sur ]a,b[

d'autre part f( ]a,b[ ) = ] limf en a+ ; limf en b- [ = ]-inf ; +inf [

conclusion : f est bijective de ]a,b[ sur IR.

la réciproque :
----------------

pour y fixé dans IR existe-t-il x unique dans ]a,b[ tel que y=f(x) ?

on résoud alors : y = 1/(a-x) + 1/(b-x)

on aboutit à : y.X^2 - [(a+b)y - 2].X + aby - (a+b) = 0

pour y=0 , X=(a+b)/2 solution unique dans ]a,b[

pour y non nul , c'est une équation du 2nd degré

son Delta =[ (a-b)y ]^2 + 4 >0

il y a deux solutions X' = [ (a+b)y - 2 - rac( Delta) ] / 2y

et X'' = [ (a+b)y - 2 + rac(Delta) ] / 2y

remarque : ( X tend vers b- ) ssi ( y tend vers +inf )

Ceci permet d'éliminer X' et par suite la solution unique est X''

donc si l' on note g la réciproque de f alors

g(y) = [ (a+b)y - 2 + rac (Delta) ] / 2y .pour y non nul
g(o) = 0