sympa ! ^^

soit f une fonction continue, croissante de IR+* dans IR+* tq :
Lim(x->+oo) { f(x)/x } = k , avec k < 1.
Etudier la suite définie par : U_(n+1) = f(U_n).
En déduire que Lim (U_n)^(1/n)=k.

demontrer que u_n diverge puis on a lim(n-+00)f(u_n)/u_n=k
donc lim(n-+00)u_(n+1)/u_n =k =>lim ln(u_(n+1))-ln(u_n)=lnk
par cesaro lim sum(k=0->n-1)ln(u_(k+1))-ln(u_k)/n=lnk
<=> Lim (U_n)^(1/n)=k

kalm a écrit:

demontrer que u_n diverge puis on a lim(n-+00)f(u_n)/u_n=k
donc lim(n-+00)u_(n+1)/u_n =k =>lim ln(u_(n+1))-ln(u_n)=lnk
par cesaro lim sum(k=0->n-1)ln(u_(k+1))-ln(u_k)/n=lnk
<=> Lim (U_n)^(1/n)=k

Oui ici c'est bon.
Mais pour les DS cesaro n'est pas admise, un petit telescopage suffit.

hh,j l pas admis mr c'est juste que c trooos clair de metre une sigma et telescoper

pour le télescopage sa ne fonctionne pas ! je crois qu'il y a une condition qui manque pour U_0 car avec le télescopage sa ma donnée
(sigma de k=0 a n)(ln(U_k+1)-ln(U_k))/n=U_n-U_0=nln(k)
normalement pour obtenir le résultat que tu as vous avez écrit U_0 doit être nul! sauf erreur bien sur
Remarque :

Citation :

demontrer que u_n diverge

prk démontrer la divergence?

limu_n=L =>lim sum(k=1->n)u_k/n=L
la preuve est facile juste avec la definition (mais il faut faire attention )^^

merci

kalm a écrit:

demontrer que u_n diverge puis on a lim(n-+00)f(u_n)/u_n=k
donc lim(n-+00)u_(n+1)/u_n =k =>lim ln(u_(n+1))-ln(u_n)=lnk
par cesaro lim sum(k=0->n-1)ln(u_(k+1))-ln(u_k)/n=lnk
<=> Lim (U_n)^(1/n)=k

je crois que (U_n) converge vers 0.