a^a.b^b.c^c

Montrer que pour a,b et c >0 on a :

salut
on utilise la fonction logarithme puis 2 fois le reordement

tu veux dire réordonnement? peux-tu justifier stp?

a ln((a+a)/2)+blan((b+b)/2)+cln((c+c)/2)<=aln(a+b)/2+bln((b+c)/2)+cln((c+a)/2)

sa marche pas
mais je vais essayer avec linegalite de jensen sur la fonction ln

D'où vient ce problème?

En fait je ne suis pas sûr que les stratégies d'olympiades marcheront ici.
Peut-être que la série de Taylor pour ln peut être utilisée.

linegalité suivante est juste?
a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/(c+a)<=(a+b+c)/2

Oui, mais avec ">=".

oui
c unitile

Bonsoir;
Avec a,b et c réels strictement positifs quelconques je ne crois pas que cette double inégalité
soit vraie vu que par exemple pour a=2 , b=3 et c=1 on a
a^a.b^b.c^c = 4.27 = 108 et b^a.c^b.a^c = 9.2 = 18 (sauf erreur)

Effectivement, Abdelali. Je me suis trompé dans le sens des inégalités.
Maintenant, je pense que c'est juste. Merci et bien vu

Bonsoir abdelbaki;
Cette double inégalité est équivalente à
(2a/(a+b))^a . (2b/(b+c))^b . (2c/(a+c))^c >(=) 1 >(=) (2b/(a+b))^a . (2c/(b+c))^b . (2a/(a+c))^c
en élevant à la puissance 1/(a+b+c) on peut supposer que a+b+c=1
en notant x=(2a/(a+b))^a . (2b/(b+c))^b . (2c/(a+c))^c et y=(2b/(a+b))^a . (2c/(b+c))^b . (2a/(a+c))^c
et en utilisant la convexité de f:t ==> - ln(t) on voit que
ln(x)=af((a+b)/2a)+bf((b+c)/2b)+cf((a+c)/2c)>(=)f(1)=0
ln(y)=a(-f)(2b/(a+b))+b(-f)(2c/(b+c))+c(-f)(2a/(a+c))<(=)(-f)(2ab/(a+b) + 2bc/(b+c) + 2ac/(a+c))
en reconnaissant les moyennes harmoniques des couples (a,b),(b,c) et (a,c) et en utilisant la croissance de (-f) on voit que
ln(y)<(=)(-f)((a+b)/2 +(b+c)/2 + (a+c)/2)=(-f)(1)=0 (sauf erreur)