Je suis tout à fait d'accord avec ce qu'ils disent sur le site , mais j'ai un moyen plus simple et plus astucieux de résoudre cette equation, je m'explique :
En tenant compte de la solution (0,0,0) (ou enventuellement (a,0,a)ou (0,a,a) où a est un entier ) on peut écrire que l'equation est equivalente à :
(x/z)²+ (y/z)² = 1 , ceci me fait penser au cerle trigo qui peut , comme tout le monde le sait , être parametré de la manière suivante:
x/z=(1-u²)/(1+u²) et y/z=(2u)/(1+u²) avec u dans IR (très important)
On peut facilement démontrer à partir de notre parametrisation que 'u' s'écrit sous le forme d'une fraction de nombres entier , c'est alors un nombre rationnel , on pourra alors écrire : u=p/q avec (p,q) dans (ZIxNI*)et p^q=1 .
En remplaçant u dans l'écriture parametrée , on obtient:
x/z=(p²-q²)/(p²+q²) et y/z=(2pq)/(p²+q²) avec évidemment p et q des entiers .
Supposons que x,y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble , on a necessairement x^z=1 . D'autre part on a (p²-q²)^(p²+q²)=1 (je vous laisse le soin de le prouver, indication: supposer que d/x et d/z et aboutir a une contradiction avec le fait que x,y et z sont premiers entre eux).
On a donc necessairement x=(p²-q²) et z=(p²+q²) ce qui nous amène a dire que y=2pq ( en prenant en compte y/z=(2pq)/(p²+q²) ).
On se ramène alors dans le cas général où x,y et z ne sont pas forcément premiers entre eux , les couples de solution générale sont alors (k*x, k*y ,k*z) donc : ( k*(p²-q²) , k* 2pq , k* (p²+q²) ) où k , p et q sont des entiers ! CQFD
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