Convergence d'une suite (Sigma)

Soit (U_n)_n une suite telle que (Sigma(k=0->n) lU_kl)_n converge

Montrer que : (Sigma(k=0->n) U_k)_n converge

lu,
c'est cela que tu voulais dire ??
W_n = |U_0|+|U_1|+...+|U_n| , Converge --> V_n = U_0+U_1+...+U_n, converge.

salut a tous
c'est pas difficile a demontrer juste il y'a bcp de methodes alors j'utilise la plus classique:
supposons que H(n)=som(k=0-->n){|u(k)|} est converge vers h alors on a:
0<|C(n)|=|som(k=0-->n){u(k)}|<H(n) (inegalité triangulaire).
alors passons a la limite on trouve que:
-h < lim C(n) < h ===> C(n ) est converge.
REMARQUE:
dans la realité C(n) et H(n) ont la meme limite.
en effet (u(n))£IR d'ou IR est complet.
mais d'apres ton enonce il suffit de montrer qu'elle converge.
___________________________________________________________________
LaHoUcInE
@+-+

Conan a écrit:

Soit (U_n)_n une suite telle que (Sigma(k=0->n) lU_kl)_n converge
Montrer que : (Sigma(k=0->n) U_k)_n converge

BJR Conan !!
C'est du Cours tout simple !!
Dans IR ou C (de manière générale dans tout espace de BANACH ) , la Convergence Absolue d'une Série implique toujours sa Convergence Ordinaire ( On utilise le Critère de CAUCHY & l'Inégalité Triangulaire ).
La RECIPROQUE étant bien sûr FAUSSE !!!
( Prendre la série de terme général un=(-1)^n/n
la série est ALTERNEE CONVERGENTE
mais en valeur absolue , tu obtiens la série harmonique DIVERGENTE )

mathema a écrit:

salut a tous
c'est pas difficile a demontrer juste il y'a bcp de methodes alors j'utilise la plus classique:
supposons que H(n)=som(k=0-->n){|u(k)|} est converge vers h alors on a:
0<|C(n)|=|som(k=0-->n){u(k)}|<H(n) (inegalité triangulaire).
alors passons a la limite on trouve que:
-h < lim C(n) < h ===> C(n ) est converge.
REMARQUE:
dans la realité C(n) et H(n) ont la meme limite.
en effet (u(n))£IR d'ou IR est complet.
mais d'apres ton enonce il suffit de montrer qu'elle converge.
___________________________________________________________________
LaHoUcInE
@+-+

je pense que ce vous avez montré , c'est tout simplement que C_n est bornée !

Pour Oeil_de_Lynx : effectivement il faut penser à Cauchy

Salut Conan
ce n'est pas ça...
*) pour moi j'ai demontré que lim C(n) existe et £IR ce n'est pas C(n) qui est borné tu peux relire ma reponse il y'a une "lim".
*) et d'autre part il y'a bcp de methode tout simplement que IR est un espace complet alors de banach d'où toute suite de cauchy est converge alors tu peux demontre que ton suite est converge c'est tout!!!
et merci @++

mathema a écrit:

Salut Conan
ce n'est pas ça...
*) pour moi j'ai demontré que lim C(n) existe et £IR ce n'est pas C(n) qui est borné tu peux relire ma reponse il y'a une "lim".
*) et d'autre part il y'a bcp de methode tout simplement que IR est un espace complet alors de banach d'où toute suite de cauchy est converge alors tu peux demontre que ton suite est converge c'est tout!!!
et merci @++

tu ne peux pas parler de limite de C(n) puisque , tu ne sait pas s'elle converge , peut étre qu'elle admet pas de limite !!

prendre exemple la suite (U_n) : n-> cos(n)+1 , elle est bornée par n+3 , or ça ne veux pas dire qu'elle admet une limite

salut conan !!!
je crois tu m'as compris je dis pas que (Un) est borné (comme u(n) est borné) mais la limite si elle s'existe qui est borné (c'est a dire £IR)
et pour ton exemple: n+3--->+00 (pas vers h) alors il faut que tu donne un exemple tres effecace et merci
___________________________________________________________
LaHoUcInE

mathema a écrit:

salut conan !!!
je crois tu m'as compris je dis pas que (Un) est borné (comme u(n) est borné) mais la limite si elle s'existe qui est borné (c'est a dire £IR)
et pour ton exemple: n+3--->+00 (pas vers h) alors il faut que tu donne un exemple tres effecace et merci
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excuse moi c'est une simple erreur de frappe je voulais dire 1/n +3

bjr

je m'adresse à tous:

je vois dans quelques réponses des mots un peu savant (BANACH , complet , cauchy , convergence uniforme , etc etc etc )

je pense les questions posées sont du niveau lycée

Est-ce que c'est autorisé pour certains et interdit à d'autres ???

BSR à Toutes et Tous !!
BSR Mr houssa !!

Ne vous étonnez pas ; la question a été posée dans le
Salon Des Sup-Spés Section Analyse
C'est Conan qui est l'auteur du Topic et il est en Prépa en FRANCE . De ce fait , rien n'interdit de parler de Critère de Cauchy dans IR en rapport avec la question ( et pourquoi pas dans un espace de Banach ) !! Il n'y a rien de savant , ces espaces sont familiers aux gens de Prépas et autres universitaires .....
Le Coin des Sup-Spés est réservé pour les "BAC+1" et plus .
Celui qui y entre sait de quoi il ressort et à quoi il s'attend !

Je vous invite à faire un tour ICI :
https://mathsmaroc.jeun.fr/forum.htm
Vous découvrirez que le Forum comprend plusieurs Salons allant du Niveau Collège à la Préparation à l'Agrégation !! Bonne Découverte .

salut Conan !!!
je donne un autre demo pour fermer ce sujet:

|som(k=0-->p){u(k)} - som(k=0-->q){u(k)}| = |som(k=p-->q){u(k)}|< som(k=p-->q)|u(k)| <€
car som|u(k)| converge alors de cauchy et puisque som{u(k)} est de cauchy et IR est un espace de Banach donc toute suite de chauchy converge alors som(u(k)) converge.
je crois que ça plus facile
_______________________________________________________________
LaHoUcInE
@++

mathema a écrit:

salut Conan !!!
je donne un autre demo pour fermer ce sujet:

|som(k=0-->p){u(k)} - som(k=0-->q){u(k)}| = |som(k=p-->q){u(k)}|< som(k=p-->q)|u(k)| <€
car som|u(k)| converge alors de cauchy et puisque som{u(k)} est de cauchy et IR est un espace de Banach donc toute suite de chauchy converge alors som(u(k)) converge.
je crois que ça plus facile .......

BJR Lahoucine !!
D'abord , tu n'as pas à CLORE ce sujet !!
Le DERNIER MOT ne sera pour PERSONNE !!!!
D'autre part , tu n'apportes rien de nouveau puisque j'ai déjà suggéré celà à Conan plus haut !!

Oeil_de_Lynx a écrit:

Conan a écrit:

Soit (U_n)_n une suite telle que (Sigma(k=0->n) lU_kl)_n converge
Montrer que : (Sigma(k=0->n) U_k)_n converge

BJR Conan !!
C'est du Cours tout simple !!
Dans IR ou C (de manière générale dans tout espace de BANACH ) , la Convergence Absolue d'une Série implique toujours sa Convergence Ordinaire ( On utilise le Critère de CAUCHY & l'Inégalité Triangulaire ).
La RECIPROQUE étant bien sûr FAUSSE !!!
( Prendre la série de terme général un=(-1)^n/n
la série est ALTERNEE CONVERGENTE
mais en valeur absolue , tu obtiens la série harmonique DIVERGENTE )

Enfin , tu as commis des erreurs , Conan t'a fait des observations à ce sujet et tu ne veux ni le reconnaitre , ni clarifier tes écrits !!!
Quand on veut faire de Bonnes Maths , il faut accepter certaines règles notamment savoir rester humble .

salut Mr LHASSANE !!!
d'abord conan m'a compris pas bien ce que je veux dire j'ai poste ces derniers ligne car on ait dans le salon des spé-sup et j'ai sentis de pourquoi compliquer les choses c'est a rien.
" car j'ai dis pas que la suite est bornée j'ai resignalé ça bcp de fois mais rien ne se change chez Conan".
et pour l'utilisation IR comme espace de Banach j'ai dis ça dans ma premiere topique au niveau de la remarque ... en plus c'est un demo tres connu chez les sup-spé.
et merci.
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LaHoUcInE

Dans R toutes suites de Cauchy converge donc il suffit de montrer que S_n=u_1+...+u_n est de Cauchy.

Si p>q tu as

|S_p-S_q|=|u_{q+1}+...+u_p| <= |u_{q+1}|+...+|u_p| (*)

La somme des valeurs absolues converge donc est de Cauchy et donc le terme (*) est aussi petit que tu veux quand p et q tendent vers l'infini. Donc S_n est de Cauchy CQFD.

Voilou!!

http://www.mathsup.ouvaton.org