p^p|n! ==> p^{p+1}|n!.

Soient n € N* et p un nombre premier.
Montrer que p^p|n! implique p^{p+1}|n!.

Considérer l'entier k tel que p^k=<n<p^(k+1)

Bonjour,

De manière générale, la puissance de p, premier, dans n! est A(n,p) = sum_{k=1,+oo} [n/p^k].

Pour répondre à la question, il suffit de montrer que A(n,p) <> p pour tous n, p. Démonstration qui est aisée :

Si n >= p^2, A(n,p) = [n/p] + [n/p^2] + sum_{k=3,+oo} [n/p^k] >= p+1
Si n < p^2, A(n,p) = [n/p] < p

CQFD

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Patrick