Pour les très très motivés...

Montrer qu’il existe un unique ensemble X vérifiant la propriété (*) suivante :
(*) l'ensemble vide £ X et si x £ X alors xU{x}£X
et qui est contenu dans ts les ensembles vérifiant * .
On admet mtn qu'il existe un tel ensemble, on le note N;
mq £ est une relation d'orde strict et total sur N.

BSR callo !!
On retrouve dans ton Topic , les Axiomes de PEANO qui conduisent à la construction de IN , ensemble des entiers naturels . Dans la terminologie de PEANO , xU{x} s'appelle le SUCCESSEUR de x ( via la notion de cardinal ) et l'ensemble vide correspond toujours via le cardinal à ZERO le plus petit élément de IN .

Bsr,
en effet,et l'axiome de l'ensemble vide est dite axiome de l'infini ...
c'est un très bon exo, j'y pense encore...

Alors les motivés ?!...

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR callo !!
On retrouve dans ton Topic , les Axiomes de PEANO qui conduisent à la construction de IN , ensemble des entiers naturels . Dans la terminologie de PEANO , xU{x} s'appelle le SUCCESSEUR de x ( via la notion de cardinal ) et l'ensemble vide correspond toujours via le cardinal à ZERO le plus petit élément de IN .

Posons sous résèrve de l'existence d'un ensemble qui vérifie (*) et ça c'est l'axiome de l'infini, on ne peut pas le prouver à partir de rien

en effet, c ça l'axiome de l'infini , en générale c ça la notion d'axiome on se prend un pt de départ si non on arrêtera pas de définir et démontrer ...