pas Si méchant ^^

Soit E un espace Vectoriel sur un COrps commutatif IK et f un endomorphisme.On suppose que dim E = n < oo.
Montrer que :{ Ker f = Ker f² } <==>{ Im f = Im f² }<==> {Im f et Ker f sont supplémentaire dans E.}

salut !!
je crois que c'est tres classique.
tu vas montre (1)==>(2)==>(3)===>(1).
c'est facile.
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LaHoUcInE
@+-+

oui cé une méthode mais où est la démo ????

Remarque d'abord que Ker f est inclus dans Ker f² et que Im f² est inclus dans Im f.

Montrons d'abord que si Im f et Ker f sont supplémentaires alors on a l'égalité sur les noyaux et les images.

Pour les noyaux : Il suffit de prouver que Ker f² est inclus dans Ker f. Soit u dans Ker f² donc

f²(u)=0 donc f(f(u))=0

clairement cela implique que f(u) est dans Kerf et Imf, or ces espaces sont supplémentaires donc f(u)=0 donc u est dans Ker f.

Pour les images : Il suffit de prouver que Im f est inclus dans Im f². Soit u dans Imf, donc u=f(v). Kerf et Im f sont supplémentaires donc

v=v_1+v_2 avec v_1 dans Kerf et v_2 dans Imf

En particulier comme v_1 est dans Kerf

u=f(v)=f(v_1+v_2)=f(v_2)

et comme v_2 est dans Imf forcément u=f(v_2) est dans Imf².

Pour les réciproques, il faut exploiter à fond

u=u-f(v)+f(v)

Si tu rames redemande, je repasserai!

http://www.mathsup.ouvaton.org

c'est juste !