Ln!:!

à résoudre dans IR² :
xy=m
et
ln²(x)+ln²(y)=20/9 ln²(m)

salut mehdi
soient x;y£IR*+ et m#1:
ln²(x)+ln²(y)=20/9 ln²(m) et yx=m
<==> ln²(x) + ln²(x) -2ln(x)ln(m) + ln²(m)=20/9 ln²(m).
<==> ln²(x) - ln(x)ln(m) = 11/18 ln²(m)
<==> ln²(x)/ln²(m) - ln(x)/ln(m) = 11/18
<==> log²m(x) - logm(x) = 11/18.(*)
posone A=logm(x)
(*) <==> A² - A -11/18=0.
donc le reste est simple....
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LahOuCiNe
@+-+

t'as négliger le cas de
m<0 ==== S=o/
m>0
m=1 tjr valide ... S={(1/y;y)£iR*+}
m#1 ===== ln²(m)=0 S=o/

salut mehdi !!!
tu as ecris ln²(x)+ln²(y)=20/9ln²(m).
alors il faut que x>0 et y>0 ce qui implique que m>0.
alors c'est pas la peine de discutter que m<0 car il fallait etre >0. et pour le cas m=1 c'est trivial !!!
sinon je fait le demo:
m=1 ==> y=1/x (x>0) et 2ln²(x)=0 ==> ln(x)=0 ==> x=y=1. S={(1;1)}
et le reste est demontré.
PS:<< mon but ce n'est pas de resoudre completement l'exo mais de donner des astuces ou des indications >>
et merci
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LaHoUcINe

cé ca .... Merci ....
Pour ta PS: c'est l'astuce que ts mateux éxigent ...

y a une autre methode
d' abord D=]0; +oo[ et m>0
xy=m<=> ln(x)+ln(y)=ln(m)^2
<=> ln(x)^2+ln(x)^2+2ln(x)ln(y)=ln^2(m)
<=>ln(x)ln(y)=-11/18 ln(m)^2
on pose ln(x)^2=p et ln(y)^2=q
dc p+q=20/9(ln(m)^2) et pq=121/18^2 ln(m)^4
daba 7amda