Deux exos de kholles d'aujourd'hui...

Question ce cours : mq la fonction F définie de P(E) sur {0,1}^E qui à un ensemble X de P(E) associe sa fonction caractéristique est bijective,et retrouver Card(P(E)) si Card(E)=n.

ex 1 : (classique, je l'ai souvent rencontré, mais je n'ai jamais tenté de le résoudre ni de connaitre la soluce ...),mq f définie sur IR par f(x)=1 si x est rationnel et f(x)=0 si non est discontinue en tt pt de IR,

ex 2: dénombrer dans un ensemble E fini,de cardinal n, le nombre de relations binaires réflexives, symétriques , transitives.

Alors qu'en dites vous de l'ex 2 ?!

salut callo,aprés rapide reflexion
je trouve que le cardinal des reflexive et symetrique(j'ai pas fait transitive) est:2^(n²)-1-(n^n)(n-1)-(n-1)!
lol c'est peut etre un nombre negatif!!!!!!!

callo a écrit:

....ex 2: dénombrer dans un ensemble E fini,de cardinal n, le nombre de relations binaires réflexives, symétriques , transitives.

BSR à Toutes et Tous !!
BSR callo !!

Je pense qu'il faut raisonner sur les graphes G(R) de telles relations R
On note DELTA ={(x;x) , x dans E } la diagonale de ExE

1/ R est réflexive donc G(R) contient DELTA
donc G(R)=DELTA union H
avec H partie de ExE\DELTA
Donc les relations réflexives sont en nombre de 2^{n^2-n}

2/ R est symétrique alors G(R) sera symétrique % à DELTA
donc sera formé de la réunion de :
A partie de DELTA
et d’une partie de {ExE}\DELTA sym % à DELTA
Les parties A sont en nombres de 2^n
et les parties B sont en nombres de 2^{(1/2).(n^2-n)}
Par conséquent , le nombre de relations symétriques sera égal à
2^n . 2^{(1/2).(n^2-n)}=2^{(1/2).n.(n+1)}

3/ Pour les transitives , la chose est un peu dure car il n’est pas facile de l’interprêter en faisant intervenir G(R)

callo a écrit:

Question ce cours : mq la fonction F définie de P(E) sur {0,1}^E qui à un ensemble X de P(E) associe sa fonction caractéristique est bijective
.

l'injectivité est facile , Montrons la surjectivité , sois g une application de P(E) vers {0,1} , on doit montrer qu'il existe un ensemble X de P(E) tel que g soit sa fct caractéristique :

si g prends tjrs la valeur 1 , alors "qlq soit x de E <==> g(x)=1" <=> " g(x)=0 <=> x n'appartient pas à E ( x appartient au vide )" , alors dans ce cas g est la fonction caractéristique de E

si g prends tjrs la valeur 0 , avec le meme raisonnement on obtient que g est la fct caractéristique de l'ensemble vide

si g prends les valeurs 0 et 1 ( g est surjectif) , soit A= g^(-1) {1} , donc si x n'appartient pas à A alors x=0 , alors g est la fct caractéristique de A , donc ton application F est surjective C.Q.F.D .. , j'espere que sa marche car c'est un peu louche ( et bonne chance dans les classes prépas)
A+

Bsr à vous tous,
Tout d'abord MABROUK L3ID Bsse7a ou ssalama inchaalah,
En effet, mr Lhassan, j'ai suivi la mm démarche en raisonnant sur le fait que le graphe était un ss ensemble, l'idée de délta m'est venue après avoir essayé de voir comment ça se passe ac E=IR...
et comme c'était mon prof qui m'avait collé, il m'avait dit de réfléchir à la question de transitivité pr bcp plus de tmps...
BOn week,
A tte