1/3 question de colle

soit f: N->N une application bijective

montrer que (f(n)/n)_n converge vers 1

Le résultat est faux. Tu ne te serais pas trompé sur l'énoncé?

Je te donne un contre exemple : une fonction qui fait des vagues décroissantes.

f(1)=2 et f(2)=1

On double 3 et on pose :

f(3)=6, f(4)=5, f(5)=4, f(6)=3

On double 7 et on pose

f(7)=14, f( 8 )=13, ... f(14)=7

On double 15

f(15)=30 et on descend etc...

la suite f(n)/n ne peut donc pas tendre vers 1 alors que f est une bijection.

Voilou!!

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trés bon exemple !! , mais vous n'avez pes montré que (f(n)/n) ne tend pas vers 1 , enfin je pense plutot que j'ai oublié de mentionner que (f(n)/n) converge

stp ou est l'erreur si on ecrit
f definie de N vers N
(qqsoit n de N)(E m de Z)
f(n)-n=m
donc pour n#0 (fn/n)-1=m/n
comme (fn/n) convergente alors
limf(n)/n-1=lim m/n=0==>lim(fn)/n=1
sauf erreur

L a écrit:

stp ou est l'erreur si on ecrit
f definie de N vers N
(qqsoit n de N)(E m de Z)
f(n)-n=m
donc pour n#0 (fn/n)-1=m/n
comme (fn/n) convergente alors
limf(n)/n-1=lim m/n=0==>lim(fn)/n=1
sauf erreur

Il faudrait écrire m(n) ou m_n...
Ton m n'est pas constant, c'est ça l'erreur ^^

stp pourquoi m doit etre constant?
est ce pour ne pas voir le cas de quand n tend vers l'infini m tend aussi vers l'infini donc on peut pas ecrire lim m/n=0?

m ne doit pas être constant... m est une suite dépendant de n!!

Pour ta 2eme question, 2 remarques:
1) m ne tend pas forcément vers l'infini... exemple pour f(n) = n...
2) même si c'était le cas, forme indéterminée!

Ah oui Conan, si tu oublies de mentionner que ta suite converge, ça change tout!!

Là raisonne par l'absurde et suppose que ta limite l vérifie l>1 par exemple (pour l<1 le raisonnement est semblable). Choisis a>0 tel que l-a>1. Par convergence de f(n)/n vers l tu sais que pour n>N tu as

f(n)/n>l-a>1

soit encore

f(n)>n pour n>N

Maintenant en réfléchissant un peu (je te laisse faire), tu remarque que cela contredit le fait que f est bijective!

Voilou!!

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Conan a écrit:

soit f: N->N une application bijective

montrer que (f(n)/n)_n converge vers 1

si (f(n)/n)_n converge vers a , soit g est la réciproque de f
on a aussi (g(n)/n) converge vers a , mais ( f(n)/n )n=(m/g(m))m
==> a=1/a ==>a=1

M abdelbaki; pouvez vous developpez un peu plus afin de mieux eclaircir.
merci d'avance

abdelbaki.attioui a écrit:

Conan a écrit:

soit f: N->N une application bijective

montrer que (f(n)/n)_n converge vers 1

si (f(n)/n)_n converge vers a , soit g est la réciproque de f
on a aussi (g(n)/n) converge vers a , mais ( f(n)/n )n=(m/g(m))m
==> a=1/a ==>a=1

pourriez vous Mr abdelbaki.attioui , éclaircir le fait que (g(n)/n) converge vers la méme limite , et surtout pk converge -t-elle ?!

j'ai supposé que (f(n)/n)_n converge vers a une limite indépendante de f.


Si on pose a(f)= lim f(n)/n pour toute bijection de IN
alors a(f*)=lim f*(n)/n=lim m/f(m)=1/a(f) ( f* = réciproque de f)

N.B l'application f---> a(f) est un morphisme de groupe de (S(IN),o) dans (IR* , x)

Mais le résultat f(n)/n converge pour toutes bijection de N est faux. J'en ai donné un contre exemple plus haut.

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math_sup_ambition a écrit:

Le résultat est faux. Tu ne te serais pas trompé sur l'énoncé?

Je te donne un contre exemple : une fonction qui fait des vagues décroissantes.

f(1)=2 et f(2)=1

On double 3 et on pose :

f(3)=6, f(4)=5, f(5)=4, f(6)=3

On double 7 et on pose

f(7)=14, f( 8 )=13, ... f(14)=7

On double 15

f(15)=30 et on descend etc...

la suite f(n)/n ne peut donc pas tendre vers 1 alors que f est une bijection.

Voilou!!

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Autrement dit :
pour tout n>=0 et pour tout i=0,...,n on pose f(n+i)=2n-i

la suite f(n)/n ne peut donc pas tendre vers 1 . Pourquoi?

abdelbaki.attioui a écrit:

math_sup_ambition a écrit:

Le résultat est faux. Tu ne te serais pas trompé sur l'énoncé?

Je te donne un contre exemple : une fonction qui fait des vagues décroissantes.

f(1)=2 et f(2)=1

On double 3 et on pose :

f(3)=6, f(4)=5, f(5)=4, f(6)=3

On double 7 et on pose

f(7)=14, f( 8 )=13, ... f(14)=7

On double 15

f(15)=30 et on descend etc...

la suite f(n)/n ne peut donc pas tendre vers 1 alors que f est une bijection.

Voilou!!

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Autrement dit :
pour tout n>=0 et pour tout i=0,...,n on pose f(n+i)=2n-i

la suite f(n)/n ne peut donc pas tendre vers 1 . Pourquoi?

Non la suite n'est pas définie comme tu le décrit. Elle est définie de la façon suivante :

pour tout p>0

f(2^p-1+i)=2(2^p-1)-i avec i= 0,..., 2^p

De plus la suite f(n)/n ne converge pas vers 1 car il existe une sous-suite qui ne converge pas vers 1. Prendre par exemple le sous suite f(2^p-1)/(2^p-1).

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OK math_sup_ambition . Trouver alors le bon énoncé?

L'énoncé est : si la limite existe, montrer qu'elle vaut 1.

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