exo

slt;je vous propose de résoudre l'exo suivant!

soit f la fonction définie par f(x) = x - sinx
1) résoudre l'equation f(x) = f(-1)(x) [ f(-1) fonction réciproque de f ]
2) montrer qu'il existe une unique fonction g définie sur IR telle que :
pr tt x de IR : g(x) - sin(g(x)) = 1/rac(1+x²)
3) montrer que g est pair et que limg(x) (qd x tend vers +00) = 0
4) à l'aide des variations de f donner le TV de g
5) montrer que g est continue sur IR

i)

f est continue sur IR (1)
f est deriable sur IR , et on a pr tt x de IR: f'(x)=1-cosx>0 et f'(0)=0
donc f est strictement croissante (2)
de (1) et (2) on conclut que f est bijective de IR vers f(IR)=IR

f(x)=f[-1](x)
<=> fof(x)=x
<=>(x-sinx)-sin(x-sinx)=x
<=>sinx=sin(sinx-x)
<=>2x=sinx+2kpi
et on a |sinx/2|<1/2 => |x|<1/2
donc S C [-1/2;1/2]
soit x un élément de [-1/2;1/2]
on prend h(x)=2x-sinx, h est continue sur IR
h(-1/2)=-1-sin(-1/2)<0
h(1/2)=1-sin(1/2)>0
selon le TVI , Il existe des éléments de IR tel que h(c)=c
[on doit montrer que h est strictement monotone]
h est dérivable sur IR
h'(x)=2-cosx>0
d'où h est strictement croissante
alors il existe un seul élément c , tels que h(c)=c
si on prend 0 , on va remarquer que l'équation l'admet comme une solution d'ou S={0}

ii)

g(x)-sin(g(x))=1/rac(x²+1)
<=> fog(x)=1/rac(1+x²)
<=>g(x)=f[-1](1/rac(1+x²))
d'où il existe une unique g définie sur IR

iii)

qlq soit x de IR :-x € IR g(-x)=g(x) , g est pair

lim g(x)(+00)=lim f[-1](1/rac(1+x²))(+00)=f[-1](0)=f(0)=0

iiii)

les variations de f sont les mêmes de f[-1] et ainsi de g (croissante sur IR)

iiiii)

on a g(x)=f[-1](1/rac(1+x²))
=f[-1](cos(Arctan(x)) (parce que qlq x de IR: cos(Arctan(x)=1/rac(1+x²) )
la fonction Arctan est continue sur IR , ainsi cos et Artan(IR) C IR
d'ou cos(Arctan) est continue sur IR (1')
f[-1] est continue sur, car elle est une fonction réciproque de f (2')
et cos(Arctan(IR))=[-1;1] C IR (3')
de (1') et (2') et (3') f[-1] (cos(Arctan))=g est continue sur IR

voila..

bonsoir

attention aux mauvaises habitudes ( la littérature savante)

du genre : oh oui çà c'est ROLLe ,, oh oui çà c'est le TVI etc......

mon cher Fermat-X

que dis tu de x= kpi est -il solution de : fof(x)=x ?

alors à refaire tout....

oui , il faut résoudre l'équation: 2x-sinx-2kpi=0 !!...mais il fallait pas refaire tout sauf la partie de l'équation !

Peut etre f(x) = f(-1)(x) <=> x=y ( المنصف الاول )

?????