entiers en progression arithmétique et carré parfait

montrer qu'il n'existe pas d'entiers positifs n,m,p en progression arithmétique tels que: est un carré parfait

Bonjour,

Je peux donc écrire n=m-r et p=m+r et supposer sans restriction que m et r sont premiers entre eux.

(m-r)^2 + m^2 + (m+r)^2 = 3m^2 + 2r^2

Si 3m^2 + 2r^2 est un carré parfait, r ne peut être divisible par 3, sinon m devrait l'être (mais on a pris r et m premiers entre eux).

r, non divisible par 3, vaut 1 ou 2 modulo 3. Donc 3m^2 + 2r^2 vaut 2 modulo 3 et aucun carré parfait ne peut valoir 2 modulo 3 (ils ne peuvent valoir que 0 ou 1).

CQFD

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Patrick

n+p=2m
n²+m²+p²=m²+(n+p)²-2np=5m²-2np....

Bon, soient m<n<p alors 20(m²+n²+p²)=5(4(m²+p²)+(m+p)²)=5(5m²+5p²+8mp)=(5m+4p)²+(3p)²
Alors si on choisit 5m+4p=u^2-9v^2, 3p=3uv donc 5m=u^2-9v^2-4uv donc si u, v sont divisibles par 5 on peut construire un tel exemple..

Bonsoir,

mathman a écrit:

Bon, soient m<n<p alors 20(m²+n²+p²)=5(4(m²+p²)+(m+p)²)=5(5m²+5p²+8mp)=(5m+4p)²+(3p)²
Alors si on choisit 5m+4p=u^2-9v^2, 3p=3uv donc 5m=u^2-9v^2-4uv donc si u, v sont divisibles par 5 on peut construire un tel exemple..

Si tu prends 5m+4p=u^2-9v^2, il faut prendre 3p = 6uv et non 3uv.

Et quand tu auras fini, tu auras un exemple de 20(m²+n²+p²)= X^2, ce qui ne répond pas à la demande.
Désolé.


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Patrick

, oui, j'ai voulu aller trop vite, c'est moi qui suis désolé.

Bon, (pour me rattraper ), ce problème est réduit à néant avec un petit coup de modulo 3 (descente).

3|m, n, p
-> éliminer le facteur 3
-> continuer.