Un Exo d'olymiade

trouvez tous les entiers naturels x et y tels que :
x-y=x^2+xy+y^2

l'equation equivaut à -x^2+x-y^2-y=xy
posons f(x,y)=xy=-x^2+x-y^2-y. on a f(x,y)=f(y,x)=xy
d'où : -x^2+x-y^2-y=-y^2+y-x^2-x
après simplification, on obtient : x=y
on remplace dans l'equation donnée : x^2+x^2+x^2=0
donc x=y=0

autrement :
x-y=x²+xy+y²

donc x>=y , si x=y on a x=y=0
si x>y donc x>=y+1 donc (x-y)²>=(x-y) càd (x-y)²-(x-y)>=0
mais l equation equivaut :
(x-y)²-(x-y)+3xy=0 vu que xy>=0 et (x-y)²-(x-y)>=0 on aura :
(x-y)²=(x-y) et 3xy=0

ou bien :
on a x>=x-y=x^2+xy+y^2>=3xy
- si x=0 on a donc y=0
- si x est différent de 0 on a 1>=3y donc y=0 alors x=0 ou x=1
donc les solutions sont : (0,0) ou (1,0)

slt !!!!!
bon je pense ke vs avez oublié le cas (y=0,x=1)
voici ma solution
on a : x-y=x²+xy+y² <=> (x-y)²=x^3-y^3
=> x>=y et (x-y)(x-y-1)=-3xy => x-y<=1 (car -xy<=0 et x-y>=0)
donc : 0<=x-y<=1 => x=y ou x=y+1
après la verification (réciproquement) on trouve :
S=(0,0) et (1,0)

@+

dsl "toubi" g ps vu ta sol (j'étais entrain d'ecrire la mienne)

[quote="milor18"]l'equation equivaut à -x^2+x-y^2-y=xy
posons f(x,y)=xy=-x^2+x-y^2-y. on a f(x,y)=f(y,x)=xy
d'où : -x^2+x-y^2-y=-y^2+y-x^2-x
quote]

Je ne suis pas d'accord ,cette astuce s'applique seulement dans les équations fonctionnelles , et généralement dans des situations dans laquelle f(x,y)=a pr ts réels x,y
A+

x-y=x^2+xy+y^2 <==> x²+(y-1)x+y²+y=0
Delta=(y-1)²-4(y²+y)=-3y²-6y+1>=0 <===> y=0
l'éq devient, x=x² <==> x=0 ou x=1