Sous espaces stables

Montrer que les seuls espaces vectoriels stables par un endomorphisme u nilpotent d'indice n sont les suivants : {0] , ker(u) , ker(u^2) ,..... , ker(u^n)

Il y a une preuve simple si la dimension de ton e.v. vaut n (la valeur de l'indice de ton endomorphisme nilpotent). Elle doit pouvoir se généraliser au cas général.(Je crois qu'il existe aussi une preuve passant par les polynome minimaux).

Comme f est nilpotente d'indice maximal n, f^n=0, donc tu peux trouver un vecteur v tel que f^{n-1}(v) est non nul. Ensuite tu montres que (v,f(v),...,f^{n-1}(v)) forme une base de ton e.v.

A partir de là tu remarque que

Ker u = Vect f^{n-1}(u)
Ker u² = Vect f^{n-2}(u) etc...

Ces espaces sont clairement stables et sont en somme directes, donc forcément ce sont les seuls sous espaces stables.

http://www.mathsup.ouvaton.org

Je suis pas tout a fait d'accord avec vous , parce qu'il me semble qu'ou bien ya quelque chose qui cloche dans votre raisonnement ou bien c'est le mien qui est faux , je posterai ma preuve dés possible.

salut je n'ai pas resolu l'exo mais je tiens à faire qqes remarques:
dejà sans hypothese de dimension fini les ker(u^k) sont stables.
De plus ces dernieres ne sont point en somme directe(on a plusieurs inclusion).en fin u^(n) est non nul,d'aprés ce que Mahdi a enoncé.

Oui tu as raison joystar1, ces ensembles ne sont pas en somme directe, j'ai écrit un peu vite... Cependant ce sont bien les seuls sous-espaces stables.

Désolé pour l'erreur.

http://www.mathsup.ouvaotn.org

Mahdi ,tu n'a pas oublier par hasard des hypothèses sur la dimension de E et le rang de ton endomorphisme ( doit étre egale a n-1)???

X 1985

Je vais utiliser le lemme suivant facilement démontrable.
si l'indice de nipoltance est n alors dimkerf^i=i pour tout i inférieur ou égale à n

si il existe i tel que dimkerf^i=i alors l'indice de nipoltance est n
soif A un tel sous espace stable.

f restreint à A est nipoltant.
kerf restreint à A est donc non nulle.
D'autre on dimkerf=1 car l'indice de nipoltance est n.
donc dimkerf restreint à A=1 donc l'indice de nipoltane est la dimension de A
donc dim kerf^i restreint A=i pour tout i inférieur ou égale à la dimension de A qu'on note r

or kerf^r restreint A vaut kerf^r inter A qui est inclus dans A et inclus dans kerf^r.

par l'égalité des dimension on A = kerf^r restreint A= kerf^r.


j'en profite pour vous demander des conseilles sur la préparation de polytechnique central et les mines en libre sachant que cinq demi n'est pas une option