Olympiade

merci pour votre effort

merci pour l'olympiad ta bcp

f(f(n))+f(n)=2n+3
n=0 => f(f(0))+f(0)=3 posons t= f(0) donc f(t)+t=3
n=t => f(f(t))+f(t)=2t+3 => f(f(t))=3t.
n=f(t) => f(3t)+3t=2(3-t)+3 => f(3t)=-5t+9 donc t=0 ou t=1.
pour t=0 ça donne 0=3 cotradiction
donc t=1 donc f(0)=1 par récurrence sur N c facile de demontrer que f(n)=n+1 est une solution.
reciproquement elle l est .

on sait que x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
donc x^3/(x^2+xy+y^2) - y^3/(x^2+xy+y^2)=x-y
somme(cyc) des deux cotés cela donnera:
somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)= somme(cyc) y^3/(x^2+xy+y^2)
donc somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)=1/2[somme (cyc) (x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2)]=somme (cyc) (x+y)* (x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)
on sait que (verifier) (x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)>=1/6
donc somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)>=2(x+y+z)/6=(x+y+z)/3

pour le 3 eme ecrit le je ne vois rien en bas.

n.naoufal a écrit:

on sait que x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
donc x^3/(x^2+xy+y^2) - y^3/(x^2+xy+y^2)=x-y
somme(cyc) des deux cotés cela donnera:
somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)= somme(cyc) y^3/(x^2+xy+y^2)
donc somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)=1/2[somme (cyc) (x^3+y^3)/(x^2+xy+y^2)]=somme (cyc) (x+y)* (x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)
on sait que (verifier) (x^2-xy+y^2)/(x^2+xy+y^2)>=1/6
donc somme(cyc)x^3/(x^2+xy+y^2)>=2(x+y+z)/6=(x+y+z)/3

Ou bien,tout simplement:
x^3/(x^2+xy+y^2) = x - (x²y+xy²)/(x^2+xy+y^2) >= (2x-y)/3
la meme chose pour les autres puis le resultat s'écoule en sommant.