Olympiade^^

pour ex3:
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condition d'existence :
rac( 12 - rac x) = 12 - x

0< x < 12

soit f(x) = 12 - Vx , pour x >0 , ( V : rac carrée)

f réalise une bijection décroissante de IR+ sur ]-inf , 12]

l'équation proposée <==> fof(x)=x <==> f(x) = f^-1(x)

or les courbes de f e de f^-1 se coupent sur la droite : y = x

donc f(x) = x

12 - Vx = x <==> x + Vx - 12 =0 ( second degré en Vx)

Vx= 3 ou -4(impossible)

conclusion : x= 9

désolé il s'agit de ex 1

Soit f(x) = 12 - Vx

alors 12 - V(12 - Vx) =f(f(x))=ff(x)

donc x=ff(x) donc f(x) =fff(x)
donc f(x) est une solution aussi
et par meme resonnement on trouve qu'il ya une
infinite de solution ce qui est impossible
Donc f(x) = x
==> 12 - Vx =x ( x>0 et <V12)

>x = (12 - x)²

>X² - 25 x + 144=0

>(X - 9)(X - 16)=0

Donc X=9

16 n'est pas admissible.

wi j la meme solution que ali mais il faut ajouter que 16 n'est pas admissible car elle n'appartient pas au dommain de définitions de g(x)=12 - V(12 - Vx)

le dernier exo:
levons le tous au carré:
l'inega devient:
[V(x²+y²)-V(x²+z²)]²=<(y-z)²
<=>y²-z²-2V(x²+y²)(y²+z²)=<y²-2yz+z²
<=>z²+V(x²+y²)(y²+z²)>=yz
on a:
V(x²+y²)(y²+z²)>=y²
l'inegalité devient:
z²+y²>=yz
ce qui est juste.