exo difficile

montrer que pour tous a.b.c strictement positive

3/(1/a+1/b+1/c)=<(a+b+c)/3

je crois que tu l'a deja posté:
3/(1/a+1/b+1/c)=<(a+b+c)/3
<=>(a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>=9
on a:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+ a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b >= 9

bon pour (a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>=9
on a d après chauchy shwartz
(a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>= (Va/Va+Vb/Vb+Vc/Vc)²
(a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>= 3²
(a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>=9

merci
j ai poste avec 3Vabc et nous au tc mazal ma9rinahch

wa ana li 6eme et ba9i ma9rito lool

si tu parle de caushy-chwarz je crois que tu vas le voir en sup.

bonjour

tu peux partir simplement

tu montres que la différence est négative

3/(1/a + 1/b + 1/c) - (a+b+c)/3 = ...............(calcul classique)

.........= [6 - (a/b+b/a) - (b/c+c/b) - (a/c+c/a) ] / 3(1/a+1/b+1/c)

donc le signe du [..] nous interesse

remarque:

a/b + b/a = (a^2 + b^2)/ ab = 2+ (a+b)^2/ab

[......] = -(a+b)^2/ab -(a+c)^2/ac - (b+c^2/bc < 0

=====> C.Q.F.D.

une petite erreur dans la remarque : ..... = -2 + (a+b)^2/ab

au lieu de 2 +...

j'étais un peu confus

encore désolé

remarque : .....= 2 + (a-b)^2 /ab

[....] = - (a-b)^2/ab - (a-c)^2/ac - (b-c)^/bc < 0

on sait que :
a £ R+
( Va - 1/Va ) ^2 est toujours positif

a-2 +1/a est positif

donc la somme d'un nombre x est 1/x (x £ IR+) est toujours sup ou égal à 2
avec l'égalité si x= 1

donc c pas la peine d'utiliser l'inégalité de caushy shwarz

mathsmaster a écrit:

je crois que tu l'a deja posté:
3/(1/a+1/b+1/c)=<(a+b+c)/3
<=>(a+b+c)(1/a +1/b +1/c)>=9
on a:
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=3+ a/b + b/a + a/c + c/a + b/c + c/b >= 9

3 >= 3
a/b + b/a >= 2
a/c + c/a >= 2
b/c + c/b >= 2
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=3+2+2+2 =9