Un ExO de Fonction d'olympiades !!

Saluut , voilà un Exo de fonction assez interessant ....!!
on considère ƒ une fonction telle que :

ƒ:[0;1] → [0;1]
A x £ [0;1] 2x- f(x) £ [0;1]
A x £ [0;1] ƒ(2x-f(x))=x

M.q:A x £ [0;1] ƒ(x)=x

on a : f(2x-f(x))=x

posons g(x)=2x-f(x) , donc g:[0.1]-->[0.1]

et f(g(x))=x

donc g(g(x))=2g(x)-f(g(x))=2g(x)-x

donc par recurence il est facile de montrer que :

gn(x)=n(g(x)-x)+x avec gn=gog.......og n fois.

supposons qu il existe un a tel que g(a)#a

si g(a)>a donc g(a)-a>0 et donc lim(n-->+oo)gn(x)=+oo ce qui est impossible puisque g(x)=<1 pr tt 0=<x=<1

si g(a)<a donc g(a)-a<0 et donc lim(n-->+oo)gn(x)=-oo ce qui est aussi absurde car g(x)>=0 . donc pr tt x de [0.1] g(x)=x

donc 2x-f(x)=x <==> f(x)=x

j'ai fais la meme chose Cherif!

ok merci c toujours la même idée de la fonction g ....