tres difficile exo

a²+b²+c²+4abc<1/2
<=>(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)+4abc<1/2
<=>1/2+4abc<2(ab+bc+ca)
<=>1+8abc<4(ab+bc+ca)
posons; a=x+y ,b=y+z ,c=z+x
l'inegalité devient:
4[(x+y)(y+z)+(y+z)(z+x)+(z+x)(x+y)]>1+8(x+y)(y+z)(z+x).
<=>4(x²+y²+z²+3(xy+yz+zx))>1+8(x+y)(y+z)(z+x)
posons: x+y+z=p et xy+yz+zx=q et xyz=r
on a: p=1/2 et x²+y²+z²=p²-2q= 1/4 - 2q et: 8(x+y)(y+z)(z+x)=pq-r=1/2q -r
l'inégalité devient:
4(1/4 -2q+3q)> 1+8(1/2q -r)
<=>1+4q>1+4q-8r <=> 8r>0 ce qui est juste..