exo de IR

salut tous le monde
soit a et b et c de IR*+

bayen ana
(2a/a²+bc)+(2b/b²+ac)+(2c/c²+ba)<=(a/bc)+(b/ac)+(c/ba)

@++++

je post la solution le jeudi incha2a lah @+

on a : a²+bc>=2aV(bc)

donc 2a/(a²+bc)=<a/aV(bc)=1/V(bc)

donc il suffit de montrer que :

a/bc+b/ca+c/ab>= 1/V(ab)+1/V(bc)+1/V(ca)

<==>

a²+b²+c²>=cV(ab)+bV(ca)+aV(bc)

mais on a par l inegalité du reordonnement :


a²+b²+c²>=ab+ac+bc=V(ab)V(ab)+V(bc)V(bc)+V(ca)V(ca)

>=cV(ab)+bV(ca)+aV(bc)

bravo memath

salut kuria
merci pour l exo mais posant a=b=c=1
alors

(2+1)+(2+1)+(2+1)=<1+1+1 ?????????????????????? impossible
9>=3 ???????????

xyzakaria a écrit:

salut kuria
merci pour l exo mais posant a=b=c=1
alors

(2+1)+(2+1)+(2+1)=<1+1+1?????????????????????? impossible
9>=3 ???????????

(2a/a²+bc)+(2b/b²+ac)+(2c/c²+ba)<=(a/bc)+(b/ac)+(c/ba)
1+1+1<=1+1+1
3<=3
min jebti dikchi

c est comme ca ^^
(2a/(a²+bc))+(2b/(b²+ac))+(2c/(c²+ba))<=(a/bc)+(b/ac)+(c/ba)

il suffit de montrer que :

(2a/a²+bc) <=( a/bc )

cad : 2abc <= a^^3+abc
<==> bc <=a²
De meme pour les autres termes :
ab <=c²
ca <=b²
Donc

il faut montrer que ab+bc+ac <=a²+b²+c² (*)
et pour montrer ca vous avez :
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 ==> (*)

il suffit de montrer que :

(2a/a²+bc) <=( a/bc )

cad : 2abc <= a^^3+abc
<==> bc <=a²
De meme pour les autres termes :
ab <=c²
ca <=b²
Donc

il faut montrer que ab+bc+ac <=a²+b²+c² (*)
et pour montrer ca vous avez :
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 ==> (*)

............

kirua a écrit:

c est comme ca ^^
(2a/(a²+bc))+(2b/(b²+ac))+(2c/(c²+ba))<=(a/bc)+(b/ac)+(c/ba)

ahhhh dsl ana machatch dak l9awss

ali3985 a écrit:

il suffit de montrer que :

(2a/a²+bc) <=( a/bc )

cad : 2abc <= a^^3+abc
<==> bc <=a²
De meme pour les autres termes :
ab <=c²
ca <=b²
Donc

il faut montrer que ab+bc+ac <=a²+b²+c² (*)
et pour montrer ca vous avez :
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²>=0 ==> (*)

c Faux.ab+bc+ac <=a²+b²+c² ne veut pas dire ce qui est en rouge.

bonne anne 2009 1430

voici ma deuxieme sollution plus elementaire ;

remplacons a,b,c par 1/a,1/b,1/c on aura :



qui equivaut :



on a : a²+bc>=2aV(bc) ... meme chose pour les autres

donc :



donc il suffit de montrer :





mais on a :



de meme pour les autres et en sommant on aura le resultat voulu.

Ps1: sollution detaillé à la demande des troncs communs

Ps2: Bonne année 2009 à tous