Partie A
1. Determiner le nombre complexe alpha tel que
alpha(1 + i) = 1 + 3i
ialpha² = -4 + 3i
2. Pour tout nombre complexe z, on pose f(z) = z² - (1 + 3i)z + (-4 + 3i).
Montrer que f(z) s'ecrit sous la forme (z - alpha)(z- ialpha).
En deduire les solutions sous forme algebrique de l'equation f(z) = 0.
Partie B
Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme (O; u; v), unite graphique : 5 cm.
1. On considere les points A et B d'affixes respectives a = 2 + i et b = -1 + 2i.
Placer A et B dans le repere et completer la figure au fur et la mesure.
Montrer que b = iaplha, en deduire que le triangle OAB est un triangle isocele rectangle tel que
vecteurOA; vecteurOB = Pi/2
2. On considere le point C d'affixe c = -1 +1/2i.
Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD
soit un triangle isocele rectangle tel que
vecteur OC;OD = pi/2
On pourra conjecturer l'affxe de D a l'aide de la figure pour traiter la question suivante.
3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z du vecteurOM et z du vecteurDA les affixes respectives des vecteurs Om et DA Prouver
que :
z(OM)/z(DA)=1/2i
4. Donner une mesure en radians de l'angle
(vecteur Om; vecteur Da)
5. Prouver que OM =1/2DA.
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].
On admet que le quadrilatere JKLM est un parallelogramme. Demontrer que c'est un carre.
merci
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