Exo sur les complexes

Partie A

1. Determiner le nombre complexe alpha tel que

alpha(1 + i) = 1 + 3i
ialpha² = -4 + 3i

2. Pour tout nombre complexe z, on pose f(z) = z² - (1 + 3i)z + (-4 + 3i).
Montrer que f(z) s'ecrit sous la forme (z - alpha)(z- ialpha).

En deduire les solutions sous forme algebrique de l'equation f(z) = 0.

Partie B
Le plan complexe est rapporte a un repere orthonorme (O; u; v), unite graphique : 5 cm.

1. On considere les points A et B d'affixes respectives a = 2 + i et b = -1 + 2i.
Placer A et B dans le repere et completer la figure au fur et la mesure.
Montrer que b = iaplha, en deduire que le triangle OAB est un triangle isocele rectangle tel que
vecteurOA; vecteurOB = Pi/2

2. On considere le point C d'affixe c = -1 +1/2i.

Déterminer l'affixe du point D tel que le triangle OCD
soit un triangle isocele rectangle tel que
vecteur OC;OD = pi/2
On pourra conjecturer l'affxe de D a l'aide de la figure pour traiter la question suivante.

3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z du vecteurOM et z du vecteurDA les affixes respectives des vecteurs Om et DA Prouver
que :
z(OM)/z(DA)=1/2i

4. Donner une mesure en radians de l'angle
(vecteur Om; vecteur Da)

5. Prouver que OM =1/2DA.
6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].
On admet que le quadrilatere JKLM est un parallelogramme. Demontrer que c'est un carre.

merci

alpha=(1+3i)/(1+i)=(1+3i-i+3)/2=2+i
f(z)=z²-(1+3i)z+(-4+3i)=z²-(1+i)alpha*z+ialpha²
=z²-z*i*alpha-zalpha+ialpha²
=z(z-ialpha)-alpha(z-ialpha)
=(z-ialpha)(z-alpha)
donc S={2i-1.2+i}
b=-1+2i=ialpha
a=alpha
OA=/2+i/=V5
OB=/2i-1/=V5
donc OAB isocele en O
on a arg(b/a)=arg(2i-1/2+i)=arg(i(2+i)/2+i)=arg(i)=pi/2 [2pi]
donc OAB isocel rectangle en O
sauf erreur

OCD isocele rectangle en O<=>
OC=OD et OC.OD=pi/2[2pi]
OC=OD<=>/c/=/d/ et /c/#0
OC.OD=pi/2[2p] <=>arg(d/c)=pi/2[2pi]
arg(d/c)=pi/2[2pi]<=>d/c e iR et im(d/c)>0
d/c e iR<=> E y de R/ d=(iy)*c
<=> /d/=/iyc/=y/c/ et c #0
donc y=1 d'ou d/c=i donc d=ic=-i-1/2
sauf erreur