exo

on pose dimE=n soient e1 e2 ....eN des vecteurs de E tels que
||x||²=sigma((x/eK)²)
mt que
a-e1 e2 ..........eN est une base de e .prouver qu'elle est generatrice
b-||eK||=1 pour tout k
c-(e1e2....en) ets une B O N de E

(desolé pour la petite faute)

Salam alikom et Bienvenido ^^,
dit moi est ce que tu est sure de l'énoncé?

wéwé ya pas de fautes

svp si qlq1 peut me donner une methode generale pour montrer qu'une famille de vecteur est une base dans un sev de dim fini

d'abord il faut savoir que l'enoncé n'est po clair

Salut à tout le monde,
Ton énoncé n'est pas vrai.
On peut le corriger de la manière suivante:

||e_k||=1 et qq soit x €E, sum(<x|e_k>²,k=1..n)=||x||².
Montrer que les e_k forment une B.O.N.

sum ca veut dire koi

Somme

svp drari si qlq1 peut monter la premiere question

sum=sigma
on a qlq e_j de {e_1,...,e_n} on a lle_jll²=sum<e_jle_k>²
donc 1=<e_jle_1>²+...+<e_jle_(j-1)>²+1+<e_jle_(j+1)>²+...+<e_jle_n>²
donc 0=<e_jle_1>²+...+<e_jle_(j-1)>²+<e_jle_(j+1)>²+...+<e_jle_n>²
donc les <e_jle_k>=0 d'ou (e_1,...,e_n) est orthogonale
on pose x=suma_ke_k et cherchons les a_k
on a <xle_j>=<suma_ke_k,e_j>=suma_k<e_k,e_j>=a_j
d'ou x=sum<xle_k>e_k d'ou (e_1,...,e_n) est generatrice
soient b_1 et...et b_n de IR
sumb_ke_k=0 =>qlq j de [1,n] :<0le_j>=<sumb_ke_kle_j>=0
=> <sumb_ke_kle_j>=sumb_k<e_kle_j>=b_j=0
d'ou les b_1=0 et ...et b_n=0 d'ou (e_1,...,e_n) est libre
donc (e_1,...,e_n) est une base orthonormale

Salut kalm, j'ai deux remarques:

* Si la famille est orthogonale elle est alors libre sans avoir à le redémontrer.
* Il y a qq chose qui cloche dans ta démo que la base est génératrice!!! Jamais on impose "x=suma_ke_k" car c'est cela en fait ce qu'on veut démontrer. Pour montrer que la base est génératrice il nous faut juste l'existence des a_k.
Pour cela on essaiera de montrer que x-sum(<x|e_k>e_k)=0, et cela qq soit x dans E sans rien imposer. (A vous de voir comment procéder!!)

Bonne chance.

pour libre j sait,et c trivial meme mais c juste pour bien eclairsire
pour les autres,car bcp de gens ne comprenent pas tt dans cette lecon,c
pour cela que j essayer de tt ecrire de A a Z
pour la deuxieme la methode c pour trouver les a_k,mais j oublié de prouver que x-sum(<x|e_k>e_k)=0
on a ll x-sum(<x|e_k>e_k)ll²=sum< x-sum(<x|e_i>e_i)le_k>²
et on a la projection orthogonale de x sur E est p(x)=sum(<x|e_k>e_k) donc < x-p(x)le_k>=0 d'ou ll x-sum(<x|e_k>e_k)ll²=0 => x-sum(<x|e_k>e_k)=0
et si il y a encore une faute signal la et merci