Inégalité & Géométrie !!

slt,
a, b, et c sont les longueurs des cotés d'un triangle, et r est le rayon du cercle inscrit dans ce triangle : Mq



Une de mes inégalitées !
Bonne chance !

d'apré la forumule d'heron on a s^2=1/16(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) et on a 1/4(a+b+c)^2r^2=1/16(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) car ( s=pr)
=> (a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)=4(a+b+c)r^2
donc l'inégalité est équivalente à:
4(a+b+c)r^2/(abcr^6)>=(4/ab + 4/bc +4/ac)^3
<=>(4/ab + 4/bc + 4/ac)1/r^4 >=(4/ab + 4/bc +4/ac)^3
<=> 1/r^4>=(4/ab + 4/bc +4/ac)^2
<=> 1/r^4 >=16(a+b+c)^2/(abc)^2
<=> 1/r>= 4(a+b+c)r/abc
<=> 1/r>= 8s/abc
<=> 1/r>= 2/R
<=> R/r >=2

donc il suffit de demontrer que R/r>=2
alors on a:
(
b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)<=abc (car si on pose X=a+b-c et Y=b+c-a et Z=a+c-b) on aura
xyz<=(x+y)(y+z)(x+z)/8 cela est vraie)

donc
=> 1/16(a+b+c)abc>=s^2 (dapré la formule déron)
=> (a+b+c)>=abc/R^2 car ( s=abc/4R^2) (I)
et on a a+b+c=abc/2Rr car S=1/2(a+b+c)r (II)
de (I) et de (II) on en déduit que R/r>=2
d'ou le résultat