fonction ben

on a f de N* ---> N* f(f(n))=f(n+1)-f(n)
montre que f(n) =< n pour tout n de N*
bonne courage

C'est facile. (?)
Parce qu'on déduit f(n+1) >= f(n), donc f est croissante.
Donc si f(n)>n, on ne pourrait pas avoir f(f(n))=f(n+1)-f(n).

C'est FAUX
f>0 ==> f est strictement croissante ==> f(n)>=n qqs n>0.

je compend rien je peux savoir plus merci bien d abord

Bonjour,

Ce que veut dire, avec raison, abdelbaki.attioui, c'est que :

Si f(n) est dans N*, il est strictement positif. f(f(n) aussi. Donc f(n+1) > f(n)

Si f(n+1) > f(n), f(n+1) >= f(n)+1
Et donc :
f(2) >= f(1) + 1
f(3) >= f(2) + 1 >= f(1) +2
...
f(n) >= f(1) + n - 1 >= n

Donc f(n) >= n

Pour compléter la réponse de abdelbaki.attioui :

Si il existe un n0 tel que f(n0) = n0, alors :

f(f(n0)) = n0
f(n0+1) - f(n0) = f(n0+1) - n0
et donc f(n0+1) = 2n0

Alors :
Si n0 != 1 f(n0+1) > n0+1
Si n0=1, f(2)=2 mais alors f(3) = 4 > 3

Donc, non seulement f(n) >= n, mais f(n) > n pour toute valeur de n sauf au plus deux valeurs.

L'énoncé est donc faux.

--
Patrick

l enoncè n es pas faux je ss sur

Bonjour,

crazyharrypotter a écrit:

l enoncè n es pas faux je ss sur

Ok, vous avez tous les deux raisons parceque f n'existe pas :

Il est clair que f est croissante stricte puisque f(n+1) - f(n) > 0

Or, f(f(n)) < f(n+1)
Donc f(n) < n+1
Donc f(n) <= n

Mais comme par ailleurs on a démontré que f(n) >= n
Et comme f(n) = n n'est évidemment pas solution,

Il n'existe pas de f de N* dans N* vérifiant f(f(n)) = f(n+1) - f(n)

=========
On peut aussi démontrer aisément que pour tout f de N* dans N* vérifiant f(f(n)) = f(n+1) - f(n), , il existe n1 de N* tel que n1^3 + f(n1)^3 = f(2n1)^3



Ce sont les nombreuses propriétés de l'ensemble vide
....

--
patrick

j ai trouvè cet exo dans livre avant ça un autre exo dit dit demontre que l ensemle vide et un ensemble unique ( wahid )

crazyharrypotter a écrit:

j ai trouvè cet exo dans livre

Si tu es sûr de l'énoncé, je pense que l'auteur de l'exercice voulait que tu donnes la démonstration de mon message précédent :

f(n+1) - f(n) = f(f(n))> 0 ==> f est strictement croissante
f(f(n)) = f(n+1) - f(n) < f(n+1)
Puisque f est strictement croissante et que f(f(n)) < f(n+1), alors f(n) < n+1,

et donc f(n) <= n
CQFD

Mais cet exercice est très maladroit puisque une telle fonction f n'existe pas. Dans la pratique, on peut démontrer n'importe quoi.

crazyharrypotter a écrit:

avant ça un autre exo dit dit demontre que l ensemle vide et un ensemble unique ( wahid )

L'unicité de l'ensemble vide n'a rien à voir avec ma phrase "les multiples propriétés de l'ensemble vide".

Ce que je veux dire, c'est que la phrase "pour tout x dans A, P(x)" est vraie quelle que soit pa propriété P(x) dès lors que A est l'ensemble vide.

par exemple :

"Pour tout nombre réel x dans A x^2 < -4"
Cette phrase est vraie si A est l'ensemble vide.

D'où le fait que l'exercice est maladroit.

--
Patrick

j ai une remarke pco pk tu as mis f(f(n))<f(n+1) alors f(n)<n+1 si on a f(n)<n+1 alors f(f(n))<f(n)+1

merci bien

donc la dernier reponce c est quoi

je sais que c est une question stupide

saiif3301 a écrit:

j ai une remarke pco pk tu as mis f(f(n))<f(n+1) alors f(n)<n+1

le caractère strictement croissant de f permet d'écrire :
x < y <=> f(x) < f(y)

Donc :
f(f(n)) < f(n+1) <=> f(n) < n+1


--
Patrick

Bonjour,

crazyharrypotter a écrit:

merci bien

donc la dernier reponce c est quoi

Je te suggère :

Réponse directe à la question posée :
f(n+1) - f(n) = f(f(n))> 0 ==> f est strictement croissante
f(f(n)) = f(n+1) - f(n) < f(n+1)
Puisque f est strictement croissante et que f(f(n)) < f(n+1), alors f(n) < n+1,

et donc f(n) <= n
CQFD

Complément à la réponse :
Comme f(n+1) > f(n), on a f(n+1) >= f(n) + 1 et donc, par récurrence, f(n) >= f(1) + n - 1 >= n

Donc f(n) <= n mais aussi f(n) >= n et donc, si une solution existe, elle doit être f(n) = n.
Mais f(n) = n n'est évidemment pas solution puisque f(f(n)) diffère de f(n+1) - f(n) pour n > 1

Donc, en complément à la réponse ci-dessus, on peut affirmer qu'il n'existe aucune fonction f respectant les conditions de l'énoncé du problème.


--
Patrick

ok j ai compris

j ai autre reponce
f(f(n))=f(n+1) -f(n) <=> f(n+1)=f(n)+f(f(n))
on a f de N* au N*ça veux dire que f tazayoudiya bien
f(n+1)>f(n)
suposons que il ya un m qui exige que f(m)>m ==> f(m) >ou= m+1
on a f(m+1)=f(m)+f(f(m)) >f(f(m))>ou= f(m+1) ==> f(m+1) > f(m+1)
et ça m inste pas alors tout n f(n) <ou = n

et ce que c est vrais

Bonjour,

crazyharrypotter a écrit:

et ce que c est vrais

Oui, bien sûr.
Mais c'est exactement la démonstration que je t'ai donnée (ou plus précisément sa contraposée).

j'ai cru que tu plaisantais (surtout avec ton avalanche de LOL) et c'est pourquoi je n'avais pas répondu.

--
Patrick

c est juste alors ma reponce

Tu as lu sa réponse?
Il t'a dit "oui".

Le sujet est clos. (et verrouillé)