Solution postée
Bonjour, Soit I=(int,0,1) [ln(x)ln(1-x)/(1+x)²] dx .
Par IPP, I= (int,0,1) [ln(1-x)/x(1+x) -ln(x)/(1-x²)]dx ( car x-->ln(x)ln(1-x) vaut 0 en 0 et en 1)
Mais ln(1-x)/x(1+x) - ln(x)/(1-x²) = ln(1-x)/x - ln(1-x)/(1+x) - ln(x)/2(1-x) - ln(x)/2(1+x)
Il est facile de voir que les intégrables généralisées de ces 4 fonctions convergent sur [0,1].
Par IPP, (int,0,1)[ln(x)/(1-x)]dx=(int,0,1)[ln(1-x)/x]dx
de même, (int,0,1)[ln(x)/(1+x)]dx=-(int,0,1)[ln(1+x)/x]dx
Par Chgt. var. t=1+x, (int,0,1)[ln(1-x)/(1+x)]dx=(int,1,2)[ln(2-t)/t]dt
=(int,1,2)[ln(2)+ln(1-t/2)/t]dt=ln(2)²+(int,1,2)[ln(1-t/2)/t]dt
==> I= -ln(2)²+(int,0,1)[ln(1-x)/2x]dx+(int,0,1)[ln(1+x)/2x]dx-(int,1,2)[ln(1-x/2)/x]dx
Formellement,
(int,0,1)[ln(1-x)/x]dx=-(int,0,1)[1+x/2+...+x^(n-1)/n+...]dx=-(1/1²+1/2²+...+1/n²+...)=-pi²/6 ( bien connu)
(int,0,1)[ln(1+x)/x]dx=(int,0,1)[1-x/2+...+(-1)^(n).x^(n-1)/n+...]dx=1-1/2²+...+(-1)^(n-1)/n²+...=pi²/12
La dernière égalité se déduit de 1+1/2²+...+1/n²+...=pi²/6 comme suit:
1-1/2²+...+(-1)^(n-1)/n²+...=(1+1/2²+...+1/n²+...)-2(1/2²+1/4²+...)=pi²/6-pi²/12=pi²/12
(int,1,2)[ln(1-x/2)/x]dx= -(int,1,2)[[1+x/2²+...+x^(n-1)/(2^n.n)+...]dx
=-(1/1²+1/2²+...)+(1/(2^1.1²)+1/(2².2²)+...+1/(2^n.n²)+...)=-pi²/6+g(1/2)
où g(x)=(somme de n=1 à +00) x^n/n² pur 0=<x=<1. ( g(1)=pi²/6 et g(0)=0)
On a xg'(x)=(somme de n=1 à +00) x^n/n =-ln(1-x) sur [0,1[
==> g(x)= -(int,0,x )[ln(1-t)/t]dt sur [0,1] car g(0)=0 et -ln(1-t)/t ~ ln(1-t) en 1 .
Par IPP , g(x)= -[ln(t)ln(1-t)]_0^x -(int,0,x )[ln(t)/(1-t)]dt
Avec le Chgt de var; u=1-t , g(x)= -ln(x)ln(1-x)+(int,1,1-x )[ln(1-t)/t]dt=-ln(x)ln(1-x)-g(1-x)+g(1)
==> ln(x)ln(1-x)=g(1)-g(x)-g(1-x). Pour x=1/2 ==> ln(2)²=pi²/6-2g(1/2) ==> g(1/2)= pi²/12-ln(2)²/2
==> (int,1,2)[ln(1-x/2)/x]dx=-pi²/6+ pi²/12-ln(2)²/2= -pi²/12-ln(2)²/2
L'interversion de la série et de l'intégrale est justifiée par la convergence uniforme sur [0,1] de la série.
Pour le voir on pourra utiliser soit la transformation d'Abel ( critère de Cauchy ) soit un résultat Taubérien
sur les séries entières.
Donc I=-ln(2)²-pi²/12+pi²/24 +pi²/12+ln(2)²/2 ===> I=pi²/24-ln(2)²/2
A+
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