TRiGoMeTrie

Bonjour
Voila un exo interessant :
A et B et C sont 3 angles d'un triangle
DEmontrer Que :
cosA+cosB+cosC inferieur ou égal a 3/2

cosA inferieur ou égal 1/2
et cosB inferieur ou égal 1/2
et cosC inferieur ou égal 1/2
donq
cosA+cosB+cosC inferieur ou égal 1/2+1/2+1/2
cosA+cosB+cosC inferieur ou égal 3/2
ok mo nami magaiste

pk cos A est inf ou égale 1/2 ??

nn c faux issam ..

je poste m soluce malgré elle est un peu long excusez moi mais ouvrez vos cerveaux avec moi :

cos a = x et
cos b = y et
cos c = cos (pi-(a+b)) = -cos(a+b)
= V(1-x^2)(1-y^2) -xy

donc l'inégalité devient :
x+y-xy+ V(1-x^2)(1-y^2) =< 3/2
et -1<y<1 et -1<x<1

to be continued...

<===>
3/2 + (xy-x-y) >= V(1-x^2)(1-y^2)
on enlève au carré :
(xy)^2 + x^2 +y^2 -2xy(x+y) + 2xy + 9/4 +3(xy-x-y) >=
-x^2 -y^2 +(xy)^2 +1
<==>
2x^2+2y^2-(2xy-3)(x+y) + 5xy + 5/4 >=0
2(x+y)^2 + xy + (x+y)(3-2xy) >=0

par la loi de cosinus ou le theoreme d Alkashi on peut rendre se probleme non trigonometrique :

cos(C)=(a²+b²-c²)/2ab ...ect

donc l inegalité deviend :

(a²+b²-c²)/ab+(b²+c²-a²)/bc+(c²+a²-b²)/ca=<3

equivaut :

c(a²+b²-c²)+a(b²+c²-a²)+b(c²+a²-b²)=<3abc

<==>

3abc+a^3+b^3+c^3 >= ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

(pour la cultur c schur dans le cas t=1 et ellé tjrs juste qlqsoi a,b,c)

elle equivaut :

(a-b)²(a+b-c)+(b-c)²(b+c-a)+(c-a)²(c+a-b)>=0

ce qui est trivial

egalité ssi le triangle ABC est equilateral ou A=B=C=pi/3

Ou encore :

CosA + CosB +CosC = CosA(1-CosB) + CosB - SinA.SinB
en utilisant le fait que ab<(a²+b²)/2
On déduit que : CosA + CosB +CosC <3/2