problème N°44 de la semaine (28/08/2006-03/09/2006)

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr

(Indiquer votre nom d'utilisateur dans la réponse envoyée )
puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Bonjour
Solution postée
voici la solution d'abdelbaki
0!+1!+3!+....+2007!)²=(0!+1!+3!+4!)² (mod 5)=34² (mod 5)=1 (mod 5)
le rest de la division de (0!+1!+3!+....+2007!)² par 5 est : 1

A+

Bonjour
Solution postée
voici la solution de omarada



A+

Bonjour
Solution postée
voici la solution de Pilot_aziz0!+1!+3!+....+2007!)²=(0!+1!+3!+4!)² (mod 5)=34² (mod 5)=1 (mod 5)
le rest de la division de (0!+1!+3!+....+2007!)² par 5 est : 1

Bonjour !

Solution postée
voici la solution de Rolbaro
le reste de cette division est 1.

Je suis nouveau, je ne sais pas s'il fait expliquer, mais j'ai effectué par récurence sur n.

Voila, bonne journée

A+

Salut

Solution postée

voici la solution de Lotfi
Bonjour
pour chaque division: a/b.
On a: a=bd+c.(c: le reste).
Dans notre cas on a: a=la somme de k!(k de 0 jusqu'a 2007). et b=5.
donc pour cette somme il y a des nombres qu'on pourrait factorisé par 5, les
autres représenterons le reste c.
à partir de 5! tout les nombres peuvent être factorisé par 5. ceux qui sont
avant non, ainsi ses nombres représente le reste.

donc: c=0!+1!+2!+3!+4!
Enfin: c=34.

Le reste de cette division est 34.

Bonjour

je ne sais pas comment ça s'est produit mais je n'ai pas vu la puissance
2(au carré) mais bon la démonstration est la même mais le reste est 1089.

Pardon mais ça arrive!

Bonjour ;
Solution postée
voici la solution de ElhorBonjour Samir ;
Si on note S la somme en question on a ,
S=(0!+1!+2!+3!+4!+5A)²=(34+5A)²=(-1+5B)²
et on voit bien que ,
S=1 [5]
(Sauf erreur bien entendu)

Bonjour

Solution postée
voici la solution de yalcin


Yalcin

Bonjour

Solution Postée
voici la solution de Jérém
Bonjour,
on se place dans le corps Z/5Z (5 étant un nombre premier)
pour k>=5, on a k!=0
donc la somme vaut 0!+1!+2!+3!+4!=4
et donc la somme au carré vaut 4²=1
Le reste de la division est 1

à la semaine prochaine
Jérém

Bonjour,

Solution postée .

--
voici la solution de Bouchra
Voici ma solution :

On a pour tout k >= 5, k! se termine par un 0 , d'où la somme de k=0 jusqu'à
p avec p >= 4 (2007 par ex) des k! se termine par le chiffre 4.
Le carré de cette somme se termine donc par le chiffre 6.
D'où le reste de la division du carré de cette somme par 5 est : 1.

Généralisation :



--
Bouchra

salut
solution postèe
voici la solution de selfrespect

Posons S=∑k! k décrit{ 0,1,2.3….2007}
On remarque que ptt k de N* : k>4 implique 5 devise k!
On a S=0!+1!+2!+3!+4!+∑k! k€{5.6…2007}
Alors il est clair que le reste de la division euclidienne de S par 5=celui de (0!+1!+2!+3!+4!) càd 4
On cherche le reste de la division euclidienne de S²par5
S =4 [5] implique S² =16=1 [5]

كيف حالكم


لم اعرف الجواب الصيغة معقدة نوعا ما

Bonjour!
Solution postée.
A+

voici la solution de Kendor

Soit N la somme des k!,k variant de 0 à 2007.
Pour tout k>=5,k! est un multiple de 5.
Donc N est congru à la somme des k!,k variant de 0 à 4,modulo 5.
Cette somme vaut 34 et est congrue à -1 modulo 5.
Donc N^2 est congru à (-1)^2=1 modulo 5.
Il fallait donc trouver un reste de 1.
A+

salam
solution postée
voici la solution de Abdelilah

on : sum _0 ^ 2007 k! = sum_0 ^4 [5] donc sum _0 ^ 2007 k! = 4[5] ainsi le reste est 1.
abdelilah

bonjour

solution postée

voici la solution de Chouchou
on a :

S = 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! +...........+2007!

on remarque que : 5! = 0 [5]
6! = 0 [5]
7! = 0 [5]
.. ..
.. ..
2007! = 0 [5]

et on a 4! = 4 [5]
et 3! = 1 [5]
donc 4! + 3! = 0 [5]

et 2! = 2 [5] et 1! = 1[5] et 0! = 0 [5]

alors : 0! + 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! + 7! +...........+2007! = 3 [5]
donc le reste de la division de S par 5 est 3

chouchou

Salut
J'ai corrigé ma réponse j'éspere que cette dernière sera prise en compte!
Merci d'avance

Lotfi

Sollution postée !
à+
voici la solution d'Oumzil

Bonjour ,
voilà la solution que je proposes:
2007
On a : (  k !) = 2007 ! + 2006 ! + 2005 ! + ..... + 5! + 4! + 3! + 2!+ 1! +0!
K =0

2007
Donc : (  k !)  IN
K =0

On pose : A = 2007 ! + 2006 ! + 2005 ! + ..... + 5!


Donc : A est divisible sur 5


2007
On a aussi : (  k !) = A+ 4! + 3! + 2!+ 1!+0!
K =0


2007
Alors : (  k !) = A+ 4! + 3! + 2!+ 1!+0!
K =0

2007
Donc : (  k !) = A+ 24 + 6 + 2+1+1 = A+34 = A+30 + 4
K =0

Soit C un entier naturel tel que : C = (A+30)/5 ( A est divisible sur 5 et 30 aussi alors 30+A est divisible sur 5 )

2007
On a alors : (  k !)^2 = ( 5C + 4 )²
K =0
= 25C²+40C+16
= 5(5C²+8C+3) + 1

Selon la relation de la division : A = bq+r [Ou A est dividende (le nombre divisé ) et b le
2007
diviseur , q le quotient et r le reste ] le reste de la division du nombre (  k !)^2
K =0
Sur 5 est 1 .

Le reste est alors : 1

merci beaucoup de me contacter au cas ou il y a un point à discuter .
bonne journée !!

Salam,

Solution postée
voici la solution de Goood
Salam

Voici donc ma réponse :
A=(Sigma[k=0->2007]k!)²=(Sigma[k=5->2007]+0!+2!+3!+4!)²=(Sigma[k=5->2007]k!+34)²
Bien entendu, pour tout k>=5, k! est un multiple de 5 et donc Sigma[k=5->2007] est un multiple de 5.
Le reste de la dévision de A par 5 est donc le reste de la dévision de 34² par 5.
34 est congru à 4 modulo 5, et donc 34² est congru à 1 modulo 5.
1 est donc le reste de la division de A par 5. Sauf erreur =)

Prenez soin, les matheux