Un peu d'aide, merci.

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai un DM à faire et je n'y comprends rien, de Aà Z. C'est le premier DM où je suis vraiment perdue !

Voici un bout de l'énoncé :

Soit a € N. On définit f par :
Pour tout x >= 0, f(x) = x² - 2

On note Cf courbe représentative, B son point d'intersection avec l'axe des abscisses et A le point de Cf d'abscisse a. On supposera de plus que A et B sont distincts.
On définit par récurrence la suite de points Mn par :
M0 est un point quelconque Cf distinct de A et de B.
Pour tout n € N, Mn+1 est le point de Cf qui a la même abscisse que le point d'intersection entre l'axe des abscisses et la droite (AMn)
Pour tout n € N, on notera Un l'abscisse de Mn

1.a) Faire un dessin et représenter les points M0, M1, M2, M3 d'une suite (Mn)
b) Déterminer l'équation de (AMn) puis en déduire que : Un+1 = (2+aUn)/(a+Un)
c) Montrer par récurrence que la suite u est bien définie, càd que pour tout n € N, Mn+1 est distinct de A, B et Mn

Si quelqu'un veut bien m'aider, je lui en serais très reconnaissante ! Merci beaucoup

BJR LiLi !!! & Bienvenue sur le Forum !!

Ton exo porte sur la Méthode dite Régula-Falsi ou de la Fausse Position , cet algorithme permet grace à la construction de la suite {un}n d'aboutir à la solution rac(2) de l'équation f(x)=0 dans IR+ . Pour plus de détails , c'est expliqué ici :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Methode_de_la_fausse_position

Autrement fais une bonne construction géométrique qui te donne M1 à partir de M0 .
Le reste est sans problème apparent.
Bonne Chance !!!

Salut,

Et merci d'avoir répondu

Je viens de lire le wiki.

J'ai une question en fait. M0 € Cf donc M0 vérifie l'équation de f(x), je me trompe pas ?

Seulement, comment trouver M1, M2 etc .. ?

Je dois tracer x² - 2 et les points se placent dessus mais je ne sais/vois pas comment faire Je suis nulle

Si tu peux me dire comment trouver M1, je saurais trouver M2 etc ..

Merci encore d'avance

BJR LiLi !!

Les coordonnées de B sont (rac(2);0)
Les coordonnées de A sont (a;f(a))
Tu choisis bien sûr a<>rac(2)
Maintenant le point M0 a pour coordonnées ( u0;f(u0)) et tu choisis u0<>a et u0<>rac(2);
Celà étant , l'équation cartésienne de la droite AM0 est :
y={(f(u0)-f(a))/(u0-a)}.(x-a) + f(a)
Cette droite coupe l'axe des abscisses lorsque y=0
C'est-à-dire pour x=a – {(u0-a)/(f(u0)-f(a))}.f(a)
Alors tu poses u1= a – {(u0-a)/(f(u0)-f(a))}.f(a)

Le point M1 aura pour coordonnées (u1 ;f(u1))
Et voilà !!!!

PS : ne pas oublier que f(u0)-f(a)=(u0+a).(u0-a)
et que tous calculs faits , tu obtiendras u1={a.u0 + 2}/{u0+a} après simplification !!!!!

Merci beaucoup, ça m'a permis d'avancer.

La joie est de courte durée aussi, j'ai fait plusieurs questions entre temps et voici où je bloque :
Justifier que pour tout entier naturel n, Un+1 - V2 = [(a-V2)/(a+Un)]*(Un-V2)
Ça c'est fait.

En déduire que
|Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2|

puis que |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2|

Pour |Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2| je ne vois vraiment pas comment faire.

Pour |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2| je pense qu'en faisant une récurrence ça devrait passer sans problème, qu'en penses-tu ?

Encore merci, t'es génial !

LiLi a écrit:

.....
En déduire que
|Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2|

puis que |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2|

Pour |Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2| je ne vois vraiment pas comment faire.

Pour |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2| je pense qu'en faisant une récurrence ça devrait passer sans problème .....

Salut LiLi !!
Dès que tu as établi |Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2|
alors |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2| se fait très facilement par récurrence sur n et celà te permet d'en déduire que la suite {un}n converge vers rac(2) .
ceci dit l'inégalité |Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2| est facile à établir , il suffira d'évaluer un+1-rac(2) en remplaçant un+1 par son expression{a.un+2}/{un+a} et en majorant la valeur absolue .
De manière précise :
un+1 - rac(2)={a.un+2}/{un+a} - rac(2)
={a.un+2-un.rac(2)-a.rac(2)}/{un+a}
={un.(a-rac(2))-rac(2).(a-rac(2))}/{un+a}
=(a-rac(2)).{un-rac(2)}/{un+a}
Ona |un+a|=un+a>a
donc lorsque tu prends les valeurs absolues , tu auras ce qu'il faut ......

Super merci.

Grâce à toi, j'ai bientôt fini mon DM.

J'aurais peut-être encore une ou 2 questions à te poser.

Je te remercie énormément !

Oeil_de_Lynx a écrit:

......
Salut LiLi !!
Dès que tu as établi |Un+1 - V2| =< |1-(V2)/a||Un-V2|
alors |Un - V2| =< |1-(V2)/a|^n |U0-V2| se fait très facilement par récurrence sur n et celà te permet d'en déduire que la suite {un}n converge vers rac(2) .......

Salut LiLi !!
J'en profite pour me corriger , la convergence de la suite {un}n vers rac(2) est garantie dès que :

|(a-rac(2))/a| < 1 BIEN SUR !!
c'est à dire 0<rac(2)/a<2 soit a>1/rac(2)

Salut,

J'ai quasiment fini, mais cette question me taquine.

Montrer que 1,4 < V2 < 1,5

Je ne vois pas par où commencer .. si tu as une idée, je suis preneuse

Merci

LiLi a écrit:

Salut,
J'ai quasiment fini, mais cette question me taquine.
Montrer que 1,4 < V2 < 1,5
Je ne vois pas par où commencer .. si tu as une idée, je suis preneuse
Merci

Je joue à fond le jeu !!!
Tu calcules :
{1,4}^2=1.96
puis
{1.5}^2=2.25
De plus on a : 1.96 < 2 < 2.25
et tu conclus en prenant les racines carrées , puisque cette fonction est strictement croissante sur IR+ alors :
1.4 < rac(2) < 1.5
Celà te va ???

À vrai dire, c'est ce que j'avais pensé faire, mais est-ce réellement une démonstration correcte ?

Ça me paraît bizarre, qu'en penses-tu ?

PS : Attention, je ne remets aucunement en cause ce que tu écris, au contraire !


Encore une question, et j'aurais plus qu'à recopier.

Ce forum est vraiment super ! Merci beaucoup

LiLi a écrit:

À vrai dire, c'est ce que j'avais pensé faire, mais est-ce réellement une démonstration correcte ?
Ça me paraît bizarre, qu'en penses-tu ?Merci beaucoup

OUI , en effet , celà te parait élémentaire !!
Je n'en vois pas d'autre , l'objectif est atteint qu'importe le degré de sophistication de la preuve!
Merci bcp pour vos pensées LiLi !!!!