Familles de vecteurs

Soit f £ L(E) une application bijective tel que

fof=-IdE

Montrer que la famille (x,f(x)) est libre
Soit dimE>=3
montrer qu'il existe y£E tel que (x,f(x),y) soit libre , montrer que (x,f(x),y,f(y)) est libre .

salut starcovic17 !!!!

la condition fof=-Id kay3ti kolchi avec f automorphisme (automorphisme orthogonale par produit scalaire euclidien) de E.

maba9i rah bayn j'attends les autres !!!
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algebre est d'origine arabienne mais les arabes ont aucune relations avec les maths

salam

pour Wagshall : E n'est pas forçément Euclidien
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1) si (x, f(x)) est lié ==> f(x) = a.x ==> fof(x) = a^2.x = -x

x est supposé non nul =====> a^2 = -1 absurde .

donc (x , f(x)) est libre

2) sinon pour x toujours non nul

(x , f(x) ) serait un syst.générateur donc base ===> dimE=2 , absurde.
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sinon f(y) = ax + bf(x) + cy =====>fof(y)= af(x) - bx + cf(y)= -y

donc : af(x) - bx +c[ ax + bf(x) + cy ] = -y

(a+bc)f(x) + (ac-b)x + (c^2 + 1)y = 0

(x, f(x) ,y)libre ====> c^2 + 1 =0 absurde.

.

salut houssa !!!!

lla hadik euclidien ghir ztha d'une façon génerale produit scalire prehelbertien o en plus juste une petite petite idée car je crois pas que starcovic ont etudié les espaces préhelbertiennes .... et pour la démo c'est trés CLASSIQUE ni plus ni moins.
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Bonjour

On procede tout simplement par definition de la liberté d'une famille de vecteurs !!

soient a et b de K tq ax+bf(x)=0 (1)

une composition avec f donne af(x)-bx=0 (2)

b*(1) : abx+b²f(x)=0 (3)

a*(2) : a²f(x)-abx=0 (4)

(3)+(4) : (a²+b²)f(x)=0

ce qui entraine a=b=0

cqfd

pour la suite utiliser le theoreme de la base incomplete