Axiomes faibles d'un groupe.

Soit G un ensemble non vide muni d'une lci notée multiplicativement . vérifiant les propriétés suivantes :
1 - . associative.
2- admet un neutre à gauche.
3-tout élément est symetrisable à gauche.
Mq (G,.) est un groupe.

x.e=x.(x'.x) d'apres 3 et d'apres 1 x.e=x.(x'.x)=(x.x').x=e.x=x
donc G admet un element neutre e
et on a x.x'=y =>x.x'.x=y.x d'apres 1 et 2 et 3 on a x=y.x
donc y=e d'ou tout element de G est symetrisable d'ou (G,.) est un groupe

kalm a écrit:

x.e=x.(x'.x) d'apres 3 et d'apres 1 x.e=x.(x'.x)=(x.x').x=e.x=x

Hum je ne suis pas convaincu de ce passage
x' est symétrisable à gauche, mais est-ce forcément (la réponse est oui, mais la preuve?) par x??

Je suis d'accord avec hamzaaa , (c'est une question issue d'un ds que j'ai passé ...cet étape n'était pas tjrs bien justifiée...)

dsl j pas bien lu l'enoncé !!
on a x.x' est un element de G donc il admet un inverse a gauche z
donc z.(x.x')=e =>z.x=x =>z=e d'ou x.x'=e
et x.e=x.(x'.x)=(x.x')x=e.x=x d'ou le resultat

soit x de G, x' symétrique de x à gauche et x" symétrique de x' à gauche , on obtient

e.x=(x".x').x=x".e=x => x.x'=x".e.x'=x".(e.x')=x".x'=e ...

kalm a écrit:

dsl j pas bien lu l'enoncé !!
on a x.x' est un element de G donc il admet un inverse a gauche z
donc z.(x.x')=e =>z.x=x =>z=e d'ou x.x'=e
et x.e=x.(x'.x)=(x.x')x=e.x=x d'ou le resultat

tu as utilisé le fait que l'element neutre à gauche est unique , à revoir