eq diffèrentielle.

salut badr !!

d'abord:

(D) :f"(x) + f(-x)=x ====> (f"(x) + f(x))+(f"(-x) + f(-x))=0 (E)

si f est paire:

(E) ==> f"(x) + f(x)=0 qui n'est pas le cas!!!

si f est impaire:

alors f verifier bien (E) pr tt x£IR donc:

f(x)= 2ASh(x) - x (avec Sh(x) = isin(ix) et A£IR).

si f ni paire ni impaire:

donc:
-----> on pose h(x)=f(-x)+f(x)

donc h"(x)=f"(-x)+f"(x)

donc (E) ===> h"(x)+h(x)=0

==> h(x)=2Bcos(x) (B£IR) alors:

f(-x)= 2Bcos(x) - f(x) .

alors:

(D)===> f"(x) - f(x) = x - 2Bcos(x).

donc f(x)= m e^(x) + n e^(-x) - x + Bcos(x).

mais f ne verifier pas (D) donc...!!! walo.

.....

alors la seule solution c'est le cas où f est impaire.

C/C:

f(x)=2ASh(x) - x (A£IR)

__________________________________________________________________
e=d

oui c'est un simple exo il suffit de remarquer que A(x)+B(x)=2f(x)

avec A(x)=f(x)+f(-x) et B(x)=f(x)-f(-x)

A"(x)+A(x)=0 et B"(x)-B(x)=2x

A(x)=acos(x)+bsin(x) et B(x)=2a_1Sh(x)-2x
ce qui donc la solution generale
f(x)=a'cos(x)+b'sin(x)+a_1Sh(x)-x

bonjour wagshall :

dans le cas ou f est paire ne peut on pas parler de la fonction nulle ???
et dans le cas ou f est impair je trouve ces solutions
y = -x+A e^(x) + B e^(-x)

comment vous avez introduit le sh ?

JASPER a écrit:

bonjour wagshall :

dans le cas ou f est paire ne peut on pas parler de la fonction nulle ???
et dans le cas ou f est impair je trouve ces solutions
y = -x+A e^(x) + B e^(-x)

comment vous avez introduit le sh ?

salut jasper !!!
j'essye de reponds à la place de wagshall!!

pour la premiere remarque il est clair que la fonction nulle n'est pas valable reviens à l'equation origine 0 + 0=x??? !!!

pour deuxieme f est impair <===> f(-x)=-f(x)

<==>x + Ae^(-x) + Be^(x) = x - Ae^(x) - Be^(-x) ===> A=-B
donc y=-x + A(e^(x) - e^(-x))=-x + 2Ash(x) yak??

c tt
merci
__________________________________________________________________________
LaHoUcIne

slt,
penser à utiliser l'existence et l'unicité du couple (f_p,f_i) de fonctions tq f_p paire et f_i impaire, et f= f_p+f_i

mathema a écrit:

JASPER a écrit:

bonjour wagshall :

dans le cas ou f est paire ne peut on pas parler de la fonction nulle ???
et dans le cas ou f est impair je trouve ces solutions
y = -x+A e^(x) + B e^(-x)

comment vous avez introduit le sh ?

salut jasper !!!
j'essye de reponds à la place de wagshall!!

pour la premiere remarque il est clair que la fonction nulle n'est pas valable reviens à l'equation origine 0 + 0=x??? !!!

pour deuxieme f est impair <===> f(-x)=-f(x)

<==>x + Ae^(-x) + Be^(x) = x - Ae^(x) - Be^(-x) ===> A=-B
donc y=-x + A(e^(x) - e^(-x))=-x + 2Ash(x) yak??

c tt
merci
__________________________________________________________________________
LaHoUcIne

ah oui , merci mathema