division par 7

salam

le nombre: 122333444455555666666777777788888888999999999

chaque chiffre est répété lui même fois

est-il divisible par 7 (sans machine)

essayer les congruences.

.------------------

Prenons N = 10 a + b avec a;b £ IN²

MQ 10 a + b = a + 5b [7]

Deduire !

salam

oui mais a reste encore géant.

si tu recommences çà prendra du temps!!


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Je suis d accord avec vous Mr Houssa .
Sinon pouvez vous nous dévoiler votre formule magique , j'en ai besoin parce que j'aurai un DS d'arithmétique très prochainement , qui sait ,ça sera le sujet d'un exo .
Allez A+

c facile et fastidieux :s

les reste de 10^n sur 5 sont :
n=5k , 1
n=5k-1, 5
n=5k-2, 6
n=5k-3, 2
n=5k-4 , 3

notre nombre est :

N=10^44+2(10^43+10^42)+....+9(10^8+10^7+...+10+1)

N=5+2(6+3)+3(3+1+5)+4(6+2+3+1)+5(5+6+2+3+1)+6(5+6+2+3+1+5)+7(6+2+3+1+5+6+2)+8(3+1+5+6+2+3+1+5)+9(6+2+3+1+5+6+2+3+1)[7]

<==> N=959[7]=0[7]

c tt

Merci MeMaths !
Mais si on oublie un petit peu l'exercice .. j'ai besoin d'une astuce générale ( critere de divisibilité par 7 ) sans faire trop de calcul . Is that possible?

ce que j ai fait est generalisable biensur ;
si N=a_1.10^n+a_2.10^n-1+....+a_0

pr que N soit divisible par 7 il faut que N=0[7]

tu dois voir combien 10^n est congru modulo 7 et ensuite tu peux mettre les criteres sur les ai pr que N soit 0[7]

salam

la méthode passe partout : congruences modulo 7
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il y a 3 méthodes pratiques:

1) pour les nombres de moins de 6 chiffres

soit U le chiffre des unités tu poses D l'autre bloc

exp : 54317
U = 7
D = 5431

tu vois si : D-2U est divisible ou non par 7

5431-14=5417 , tu reprends avec le nouveau
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U= 7
D = 541

D-2U = 541-14 = 527 , encore
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52 -14=38 c'est visible non divisible par 7

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2) methode pour les nombres assez long (dépassent 6chiffres)

tu sépares en blocs de 3 chiffres

exp : 52 648 350 014 536

tu fais la somme alternée

536 - 014 + 350 - 648 + 52 = 176

tu appliques 1)

17 - 12 = 5 non divisible
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3) pour les nombres géants comme c'est le cas

tu sépares en blocs de 6 chiffres en partant de l'unité

tu cherches le reste de chaque bloc modulo 7

ensuite tu sommes les restes et tu vois

999 999 , 888 999 , 788 888 , 777 777 , 666 666 , 455 555 ,

333 444 , 122

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999-999=0---------------->r=0
999-888=111------------->r=6
888-788=100------------->r=2
777-777=0---------------->r=0
666-666=0---------------->r=0
555-455=100------------->r=2
444-333=111------------->r=6
122------------------------>r=3

la somme = 19 non divisible par 7

donc le géant n'est pas divisible par 7

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pour finir pour les nombres assez grands l'idée c'est FERMAT

7 étant premier , 10^6 = 1 (mod 7)

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