Démontrer que...

Démontrer que pour tout entier naturel non nul n:

salam

par l'absurde: supposons qu'il existe n non nul tel que:

(2n+1)^n < (2n)^n + (2n-1)^n

(2n+1)^n - (2n-1)^n < (2n)^n

pour simplifier a = 2n+1 , b = 2n-1

(a-b)[ a^n-1 + a^n-2.b + a^n-3.b^2 ...........+ b^n-1] < (2n)^n

a > 2n et b > 1

donc : (2n)^n > 2[ (2n)^n-1 + (2n)^n-2 + .......... + 1]


(2n)^n > 2[ (2n)^n - 1]

===> 2 > (2n)^n ===> n=0 absurde


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POURAIS TU ME DIRE COMMENT TU AS PASSé DE LA 8èME LIGNE VERS LA 9ème
de (2n)^n > 2[ (2n)^n-1 + (2n)^n-2 + .......... + 1]
vers (2n)^n > 2[ (2n)^n - 1]

si (2n)^n > 2[ (2n)^n-1 + (2n)^n-2 + .......... + 1]

alors (2n)^n > 2[ (2n)^n - 1]/(2n-1)
dapré ce je crois

salam

oui tu as raison j'ai oublié 2n-1

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il fallait supposer :

(2n-1)^n > (2n+1)^n - (2n)^n = a^n - b^n

(2n-1)^n > 1.[a^n-1 + a^n-2.b + ........... + b^n-1]

(2n-1)^n >

et encore......

donc je reprend les calculs......


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et par AM-GM :

si on applique AM_GM on aurra :

car si on somme les puissances on aurra n(n-1)/2 é non pa n(n-1)

jé oublié un 2 a coté de la racine

Bonjour ;

Pour r >= 0 et n £ IN* posons fn(r) = (1+r)^n - (1-r)^n la formule du binôme donne alors :

fn(r) = 2Sum_{k£{0,..,n} , k impair} C(n,k) r^k >= 2nr d'où fn(1/2n) >= 1 sauf erreur bien entendu