si un entier a 3 diviseurs excatment

Montrez que si un entier naturel a exactement trois diviseurs dans N alors cet entier est le carré d'un nombre premier.

L a écrit:

Montrez que si un entier naturel a exactement trois diviseurs dans N alors cet entier est le carré d'un nombre premier.

BJR à Toutes et Tous !!
BJR L !!

On sait que tout entier naturel n se décompose de manière unique en un produit de Facteurs Premiers , de manière précise , on pourra écrire :
n=(p0)^m0.(p1)^m1.........(pk)^mk
ou p0,p1,.....,pk sont des entiers premiers deux à deux distincts et m0,m1,.....,mk des exposants entiers .
Par ailleurs , on en déduit que le nombre de DIVISEURS de n vaut :
(m0+1).(m1+1)........(mk+1)

Celà étant , si n possède exactement TROIS diviseurs alors la SEULE situation COMPATIBLE serait :
Tous les mi sont NULS sauf un seul qui vaut 2
et par suite n=p^2 avec p entier premier et ses diviseurs sont 1,p et p^2.

on pourra Montrer qu'un nombre non nul est carré parfait , si et seulement si , le nombre de cet diviseurs est impaire

BJR Conan !!
OUI , c'est tout à fait exact !!
Avec les notations de Mon Post juste avant le Tien ; celà voudra dire que les exposants m0,m1, ..... ,mk sont PAIRS donc :
pour tout 0<=i<=k mi=2.ni avec ni entier
Le nombre de diviseurs de n serait alors égal à
(2n0+1).(2n1+1) ........ (2nk+1)
qui est IMPAIR en tant que produit d'entiers tous IMPAIRS !!!

Conan a écrit:

on pourra Montrer qu'un nombre non nul est carré parfait , si et seulement si , le nombre de cet diviseurs est impaire

La réciproque est aussi VRAIE ; en effet :
Avec les notations de Mon Post juste avant le Tien , le nombre de diviseurs de n égal à
N=(m0+1).(m1+1) ........ (mk+1)
qui est IMPAIR par hypothèse .
Donc forcément , AUCUN des facteurs (mi+1) n'est PAIR sans quoi le produit N serait PAIR.
Autrement dit , pour tout 0<=i<=k mi+1 est IMPAIR donc mi est PAIR d'ou la conclusion n serait un CARRE PARFAIT et
n={p0^(m0/2).......pk^(mk/2) }^2

salam

plus simple :

si N admet exactement 3 diviseurs positifs

ce sera : 1 , d , N avec d premier

donc : N=d.x ====> x=1 ou x= d ou x=N

x= 1 ===>N=d impossible
x=N ===> d=1 impossible
la seule possibilité x=d ====> N=d^2

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la reciproque si N= p^2 , p premier

===> les diviseurs de N: 1 , p , p^2=N.


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