YAA 7SSRA : BAC 1975

NANCY :
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exercice1:

p > 0 , q > 0 , avec : 1/p + 1/q = 1

Montrer que : si a > 0 , b > 0 ======> ab < (a^p)/p + (b^q)/q


PARIS:
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exercice 1 :

On pose An = 1.3.5.7.........(2n-1) , n € IN*

1) Montrer que : An.(n!).(2^n) = (2n)!

2) Montrer que : Bn = (n+1)(n+2)(.............)(2n) est divisible par 2^n

3) montrer que : si 2^p divise Bn alors : p =< n

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pour le 1 c est AM-GM weighted (ponduré) :

a^p/p+b^q/q>(a^{pq}*b^{pq})^{1/pq})=ab

ou bien la concavité de x-->ln(x)

ln(ab)=ln(a^p)/p+ln(b^q)/q=q*ln(a^p)/pq+p*ln(b^q)/pq

<ln((qa^p+pb^q)/pq)=ln(a^p/p+b^q/q)

pour le 2 :

1) An*2^n*(n!)=[(2n-1)(2n-3)...1][2.2....2][n(n-1)....1]

=[(2n-1)(2n-3)...1][2n(2n-2)(2n-4).....2]

=2n(2n-1)(2n-2)...2*1=(2n)!

2) on a Bn.n!=2^n*n!*An

d ou Bn/2^n=An

3) soit p tel que 2^p | Bn

supposons qu il existe un k>0 tel que p=n+k

on a : Bn/2^p=An/2^k € N

ilé clair que An est impair , d ou la contradiction !

salam

pour 2) c'est la seule façon correcte

pour1) on peut passer aussi par les variations de f(x) = ax - 1/q.x^q

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