EXO défficile

Soit Un=int(0--Pi/4)[(tan(t))^n]
1- Mq (Un) Converge
2-calculer lim Un
3-trouver un equivalent simple de Un

ali_tox a écrit:

Soit Un=int(0--Pi/4)[(tan(t))^n]
1- Mq (Un) Converge
2-calculer lim Un
3-trouver un equivalent simple de Un

BSR ali_tox !!

Je pense que si dans une première étape , on établit la relation de récurrence suivante :
U(n)+U(n+2)=1/(n+1) pour tout entier naturel n
alors le problème sera amorcé dans la bonne direction ....

salut à tous !!!
pas du tout ce n'est pas defficile

pour 1)

pr tt t£[0,pi/4] on a tan(t)^n >= tan(t)^(n+1) passons à l'integrale on trouve que (u(n)) est décroissante.

et on a d'une autre part 0=< u(n) =< pi/4 (pr tt n£IN)

donc (u(n)) est bornée (minorée par 0)
d'apres critère de Cauchy (u(n)) est convergente.

2) je pose fn(t)=tan(t)^n donc on a pr tt n£IN (fn) sont mesurables (car elles sont continues sur [0;pi/4]) et on a
(fn) continue sur un compact [0;pi/4] alors il existe M>0 tq
|fn(t)|< M et d'aprés la theorème de la convergence Bornée:

lim(n->+00){u(n)}= lim(n->+00)Int{...} = Int(0->pi/4){lim(n->+00){tan(t)^(n)dt}=0.

3) tu peux utiliser la relation de reccurence qui a ete proposée par Mr Lhassane .... (facile à demontrer)

et merci!!

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lahoucine

mathema a écrit:

salut à tous !!!
pas du tout ce n'est pas defficile

pour 1)

pr tt t£[0,pi/4] on a tan(t)^n >= tan(t)^(n+1) passons à l'integrale on trouve que (u(n)) est décroissante.

et on a d'une autre part 0=< u(n) =< pi/4 (pr tt n£IN)

donc (u(n)) est bornée (minorée par 0)
d'apres critère de Cauchy (u(n)) est convergente.

2) je pose fn(t)=tan(t)^n donc on a pr tt n£IN (fn) sont mesurables (car elles sont continues sur [0;pi/4]) et on a
(fn) continue sur un compact [0;pi/4] alors il existe M>0 tq
|fn(t)|< M et d'aprés la theorème de la convergence Bornée:

lim(n->+00){u(n)}= lim(n->+00)Int{...} = Int(0->pi/4){lim(n->+00){tan(t)^(n)dt}=0.

3) tu peux utiliser la relation de reccurence qui a ete proposée par Mr Lhassane .... (facile à demontrer)

et merci!!

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lahoucine

Je ne crois pas que ça s'appelle le critère de Cauchy ; c'est le critère ce convergence ou encore ( la version qui donne la limite: l=sup ou l =inf ou ...) le théorème des suites monotones ; Critère et suites de Cauchy sont confondus !
Le critère de cauchy c'est
Pr tt eps > 0 il existe N £ IN tq qlqs p>= N qlqs n >= N on a
|u n _ up| < eps.....

callo a écrit:

mathema a écrit:

salut à tous !!!
pas du tout ce n'est pas defficile

pour 1)

pr tt t£[0,pi/4] on a tan(t)^n >= tan(t)^(n+1) passons à l'integrale on trouve que (u(n)) est décroissante.

et on a d'une autre part 0=< u(n) =< pi/4 (pr tt n£IN)

donc (u(n)) est bornée (minorée par 0)
d'apres critère de Cauchy (u(n)) est convergente.

2) je pose fn(t)=tan(t)^n donc on a pr tt n£IN (fn) sont mesurables (car elles sont continues sur [0;pi/4]) et on a
(fn) continue sur un compact [0;pi/4] alors il existe M>0 tq
|fn(t)|< M et d'aprés la theorème de la convergence Bornée:

lim(n->+00){u(n)}= lim(n->+00)Int{...} = Int(0->pi/4){lim(n->+00){tan(t)^(n)dt}=0.

3) tu peux utiliser la relation de reccurence qui a ete proposée par Mr Lhassane .... (facile à demontrer)

et merci!!

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lahoucine

Je ne crois pas que ça s'appelle le critère de Cauchy ; c'est le critère ce convergence ou encore ( la version qui donne la limite: l=sup ou l =inf ou ...) le théorème des suites monotones ; Critère et suites de Cauchy sont confondus !
Le critère de cauchy c'est
Pr tt eps > 0 il existe N £ IN tq qlqs p>= N qlqs n >= N on a
|u n _ up| < eps.....

salut callo !!!
d'une part Oui je veux dire critère de convergence (( faute d'inattention )) dsl....

mais ce qui est en rouge NON ne sont pas confondus les critères de Cauchy pour les suites c'est:

si une suite v(n)=som(k=n0->n){u(k)} avec u(k)>0 donc si lim(k->+00){(u(k))^(1/k) } =r <1 donc v(n) est convergente....
c'est un cours des series biensûr....
merci
PS:je les sais mais j'ai pas fais attention en deux topiques dsl et merci
PS2: il y'a des profs qui confond ces deux notions mais ....
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lahoucine

Re Salut
Je ne connais pas grand chose sur le cours des séries , donc je ne peux discuter sur ce sujet...
L'essentiel est résolu ...
A la prochaine !

callo a écrit:

Re Salut
Je ne connais pas grand chose sur le cours des séries , donc je ne peux discuter sur ce sujet...
L'essentiel est résolu ...
A la prochaine !

Ok callo pas de probleme.. bonne journée
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lahoucine

@Mathema
J'Réctifie : tu veux dire que si (Un)^1/n <1 Alors la série de Terme général (Un) converge ABSOLUMENT ! c'ça l'critère de Cauchy pour les séries

stracovic17 a écrit:

@Mathema
J'Réctifie : tu veux dire que si (Un)^1/n <1 Alors la série de Terme général (Un) converge ABSOLUMENT ! c'ça l'critère de Cauchy pour les séries

ok ça dans le cas génerale Mr starcovic17 mais si tu as lit qu'est ce que j'ai ecris tu vas trouver que j'ai dis que u(n)>0 ( c'est a dire |u(n)|=u(n))

en tt cas oui c ça
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lahoucine

++ sans oublier que tt suite absolument convergente est convergente dans IR (l'espace métrique complet)

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lahoucine