f'(c) (c-a)=f(c)-f(a)

soit f:[a,b] ---> IR dérivable telle que f'(a)=f'(b).
Montre qu'il existe c de ]a,b[ tel que f'(c) (c-a)=f(c)-f(a)

Bonjour Abdelbaki ;

sinon la fonction g : x ---> (f(x)-f(a)/(x-a) , x#a ; g(a)=f'(a) admettrait une dérivée non nulle sur ]a,b[ et serait donc injective
et comme elle est continue elle serait strictement monotone sur [a,b]
et quitte à changer f en -f (qui vérifie les mêmes hypothèses que f) on pourrait supposer g strictement croissante sur [a,b]
et on aurait en particulier g(a)<g(b) c'est à dire f'(a)< (f(b)-f(a)/(b-a)
et comme pour tout t£]a,b[ on a (f(b)-f(a))/(b-a) = (t-a)(f(t)-f(a))/[(b-a)(t-a)] + (b-t)(f(b)-f(t))/[(b-a)(b-t)]
on voit que , pour tout t£]a,b[ , g(b) est barycentre à coefficients positifs de g(t) et de (f(b)-f(t))/(b-t)
et comme , pour tout t£]a,b[ , g(b)>g(t) , on aurait donc , pour tout t£]a,b[ , g(b)<(f(b)-f(t))/(b-t)
et en faisant tendre t vers b on aurait (f(b)-f(a))/(b-a) =< f'(b)=f'(a) sauf erreur bien entendu

Bonsoir Abdelali
bien vu. rappelles-tu d'une 2éme méthode ?

ce n'est pas par hasard le théorèmes des accroissements finis ?

Le théorème des accroissements finis, c'est quand f(a) = f(b)