(µ_n.u_n + (1-µ_n).v_n)

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles tendant vers une même limite L
et (µ_n ) une suite quelconque à valeurs dans [0, 1]. Montrer que la suite
(µ_n.u_n + (1-µ_n).v_n) converge vers L.

abdelbaki.attioui a écrit:

Soient (u_n) et (v_n) deux suites réelles tendant vers une même limite L
et (µ_n ) une suite quelconque à valeurs dans [0, 1]. Montrer que la suite
(µ_n.u_n + (1-µ_n).v_n) converge vers L.

BJR à Toutes et Tous !
BJR Mr ATTIOUI !

Exo facile quand on sait comment s'y prendre !!

Si a et b sont des réels , on a toujours :
1) Max{a;b}=(1/2).{a+b+Abs(a-b)}
2) Min{a;b}=(1/2).{a+b-Abs(a-b)}

En outre , pour chaque entier n fixé µ_n.u_n + (1-µ_n).v_n est barycentre de un et vn donc :
Min{un;vn}<=µ_n.u_n + (1-µ_n).v_n<=Max{un;vn}
D'après les hypothèses sur {un}n et {vn}n , les propriétés 1) et 2) puis le Théorème des Gendarmes , la suite centrale converge bien vers L après avoir observé que la suite {Abs(un-vn)}n converge vers ZERO .

Bonjour ;

on peut aussi écrire , en notant wn = µn.un +(1-µn).vn pour tout n£IN , wn - L = µn .(un - L) +(1-µn).(vn - L)

et donc pour tout n£IN , |wn - L| =< |un - L| + |vn - L| sauf erreur bien entendu

ou bien wn = µn.un +(1-µn).vn =µn*(un - vn) + vn

µn est une suite bornée , comme (un - vn )tend vers 0 qd n tend vers +infini
alors µn*(un-vn) tend aussi vers zero.
vn tendant vers L , alors wn converge vers L

methenniachref a écrit:

ou bien wn = µn.un +(1-µn).vn =µn*(un - vn) + vn

µn est une suite bornée , comme (un - vn )tend vers 0 qd n tend vers +infini
alors µn*(un-vn) tend aussi vers zero.
vn tendant vers L , alors wn converge vers L

J'ai également fait pareil... hum ou se trouve la difficulté dans cet exo a priori basique?