étude d'une suite exercice 2

Bonjour, j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%.
On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut étudier l'évolution de cette population.

1) a) Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clients de A en 2002.
b) On note An le nombre de clients de A l'année (2000+n).
Etablissez que An+1 = 0,8An + 0,2(1000-An)
Déduisez-en que An+1 = 0,6An + 200
c) Exprimez an en fonction de n.

2) a) Montrez que, quel que soit l'entier n, An>500
b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a An<502
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?


Pour 1)a) CM = 1 - 20/100 = 0,8
900 x 0,8 = 720
0,2(1000-900) = 20
Donc 720 + 20 = 740
En 2002: 0,8 x 740 + 0,2(1000-740) = 644
Donc il y a 644 clients de A en 2002

b) En simplifiant An+1 = 0,8An + 0,2(1000-An)
on trouve An+1 = 0,8An + 200 - 0,2An
An+1 = 0,4An + 200 - 0,1An
An+1 = 0,3An + 200

???



Aidez-moi svp
Merci d'avance

maya1011 a écrit:

Bonjour ........ j'ai un dm de maths sur les suites et je bloque sur cet exercice :

Dans un pays, deux sociétés A et B se partagent le marché des télécommunications. Les clients souscrivent, le 1er janvier, soit auprès de A, soit de B, un contrat d'un an au terme duquel ils sont libres à nouveau de choisir A ou B.
L'année 2000, la société A détient 90% du marché et la société B, qui vient de se lancer, 10%.
On estime que, chaque année, 20% de la clientèle de A change pour B, et de même 20% de la clientèle de B change pour A.
On considère une population représentative de 1000 clients de l'année 2000. Ainsi, 900 sont clients de la société A et 100 sont clients de la société B.
On veut étudier l'évolution de cette population.

1) a) Vérifier que la société A compte 740 clients en 2001. Calculez le nombre de clients de A en 2002.
b) On note An le nombre de clients de A l'année (2000+n).
Etablissez que An+1 = 0,8An + 0,2(1000-An)
Déduisez-en que An+1 = 0,6An + 200
c) Exprimez an en fonction de n.

2) a) Montrez que, quel que soit l'entier n, An>500
b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a An<502
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?


Pour 1)a) CM = 1 - 20/100 = 0,8
900 x 0,8 = 720
0,2(1000-900) = 20 ----> Oui les abonnés venant de B

Donc 720 + 20 = 740 ------> C'est correct
En 2002: 0,8 x 740 + 0,2(1000-740) = 644
Donc il y a 644 clients de A en 2002 <------ C'est exact !!!
b) En simplifiant An+1 = 0,8An + 0,2(1000-An)
on trouve An+1 = 0,8An + 200 - 0,2An
An+1 = 0,8An - 0,2An +200
={0.8-0.2}.An + 200= 0.6.An + 200 ........

Pour le calcul de l'expression de An en fonction de n , introduis la suite {Vn}n définie par
Vn=An - 500 pour chaque entier n
puis vérifie qu'elle est GEOMETRIQUE de raison 0.6 et tu tombes sur un Exo que tu as vu HIER ...

Je reviens plus tard !!!!

A oui je me suis trompé dans la simplification !

Ensuite pour le 1) c) :
An = 900 x 0,8^n

C'est ça ???

maya1011 a écrit:

A oui je me suis trompé dans la simplification !

Ensuite pour le 1) c) :
An = 900 x 0,8^n

C'est ça ???

Petite Erreur !!
La suite {Vn}n de mon Post plus Haut est Géométrique de raison 0.6 et de 1er terme V0=A0-500=900-500=400
donc Vn=400.{0.6}^n
d'ou An=Vn+500=500+ 400.{0.6}^n pour chaque entier naturel n .

Cette formule te montre directement que lorsque n est grand alors le nombre d'abonnés chez A va se tasser vers le chiffre de 500 parceque {0.6}^n -----> 0 lorsque n devient grand .
En fait les deux opérateurs A et B finiront à long terme par se répartir à parts égales les abonnés .

Alors ça donne :

An+1 = 0,6An + 200
An+1 - 500 = 0,6(An - 500)

maya1011 a écrit:

Alors ça donne :

An+1 = 0,6An + 200
An+1 - 500 = 0,6(An - 500)

OUI , c'est celà !!
Puis poses Vn=An-500 et utilises ton exo d'hier !!

Je ne comprends pas pourquoi Vn=An-500

maya1011 a écrit:

Je ne comprends pas pourquoi Vn=An-500

J'ai introduit la suite ( on l'introduit comme accessoire , elle n'est pas prévue dans l'énoncé !!! ) {Vn}n définie par Vn=An-500 pour chaque entier n .
Tu vois bien que Vn+1=(0.6).Vn
donc la suite {Vn}n est GEOMETRIQUE de raison 0.6 et de er terme
V0=A0-500=900-500=400
Donc d'après ton Exo d'hier on a la formule Vn=V0.{0.6}^n=400.{0.6}^n
et de là on tire que An=Vn+500=500+ 400.{0.6}^n.

OK
Mais alors pour ces questions :
2) a) Montrez que, quel que soit l'entier n, An>500
b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a An<502
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

Pourrais-tu m'aider aussi stp

maya1011 a écrit:

OK
Mais alors pour ces questions :
2) a) Montrez que, quel que soit l'entier n, An>500
b) Montrez que, quel que soit l'entier n>10, on a An<502
c) Que peut-on en déduire pour l'évolution du marché des télécommunications dans ce pays?

Pourrais-tu m'aider aussi stp

Mais , en réfléchissant bien , tu avais les réponses à ces questions !!
2/a) : An=500+(400).{0.6}^n > 500 pour tout entier n puisque
(400).{0.6}^n > 0
2/b) Tu peux montrer que la suite {An}n est strictement décroissante en vérifiant que An+1 - An=160.{0(400).{0.6}^n.{0.6 - 1}=-160.{0.6}^n <0
donc si n> 10 on aura An <A10 il suffira de calculer A10
A10=500+(400).{0.6}^10 à l'aide de ta Calculette !!
2/c) Dans ce Pays , les deux Opérateurs vont pratiquement se partager les Abonnés au fur et à mesure que les années s'écoulent !!

Je suis d'accord pour le 2)a)
mais pour le b) moi je trouve :
An+1 - An = 0,6An + 200 - 500 + 400x0,6^n

J'ai fais autrement :
An<A10
A10=500+400x0,6^10
A10=502
Donc A10<502

Et pour le c)
sa va si je met :
Les 2 sociétés A et B auront le même nb de clients au fur et à mesure que les années s'écoulent

BJR maya1011 !!

maya1011 a écrit:

J'ai fais autrement :
An<A10
A10=500+400x0,6^10
A10=502
Donc A10<502

Pas d’accord pour A10=502 !!!
Tu dois calculer A10= 500 + 400x{0,6}^10
à l’aide de ta calculette !!
Tu devrais trouver EXACTEMENT A10=502,41 et comme A10 est un entier
alors on adoptera A10~502 d'ou An<502 dès que n>10.

maya1011 a écrit:

Et pour le c)
sa va si je met :
Les 2 sociétés A et B auront le même nb de clients au fur et à mesure que les années s'écoulent

A ta fâçon , oui c’est celà en quelque sorte !!!

Allé Babay & Bonne Chance !!!

OK merci beaucoup pour ton aide
slt