arithmetique de nouveau////

Soit m et n deux entiers naturels. Montrer que s'il y a une infinité d'entiers k tel que k^2+2kn+m^2 est un carré parfait donc m=n.

:@:simple et joli!!

s'il y a 3 nomres entiers k1, k2 et k3 tel que leur somme ne soit pas nulle.
de cette infinité de nombres ...

donc k1^2+2k1.n+m^2 = A^2

k2^2+2k2.n+m^2 = B^2

k3^2+2k3.n+m^2 = C^2
A^2 - B^2 = (k1 + k2) (k1 - k2 +2n )

B^2 - C^2 = (k2 + k3) (k2 - k3 + 2n)

C^2 - A^2 = (k3 + k1) (k3 - k1 + 2n )

l'addition des équations cote à cote :
0 = 4n ( k1 + k2 + k3)
==> n = 0

donc
k1^2 + m^2 = A^2 ( si m # 0 donc A^2 > k1^2 )
k2 ^2 + m^2 = B^2

k1^2 + k2^2 + 2 m^2= A^2 + B^2
et k1^2 - k2^2 = A^2 - B^2
alors
2 k1^2 = 2 A^2
contradiction

(A > K1 )

m=n=0

j'espère que j'ai raison

non m=n=0 n'est qu"un cas de solution entre plusieurs  cas.revise ta réponse!! je vais poster ma solution inchalah le plus vite possible

salam

pour {}{}=l'infini

une erreur dans la factorisation : (k1 - k2)(k1+k2-2n)

et par suite la somme ======> 0 = 0 rien!!!!!!

..................................................

salam

je propose la solution suivante

k² - 2kn + m² = A²

<===> (k - n)² - A² = n² - m²

<===> (k-n+A)(k-n-A) = constante

donc : un produit de deux entiers est constant pour une

infinité de k est impossible si n²-m² # 0 d'après la décomposition

en facteurs premiers d'un entier : il y a un nombre fini de

décompositions.

donc la seule possibilité est n²-m² = 0


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