Exo ***

Soit (E,*) tel que * associative et soit a appartenant à E et l'application f de E vers E telle que : pour tout x de E f(x)=a*x*a et f surjective.
1) Montrer que (E,*) admet un élément neutre.
2)Montrer que a admet un symétrique dans (E,*).

Alors ???

salam

1) il existe b tel que f(b)=a =====> aba=a

montrons que : e=ab=f=ba

soit x dans E , il existe y tel que f(y) = x ====> aya=x

===>ayab=xb ===> ayaba=xba ===> aya=xba ===> x=xba (1)

de même : aya = x ===> baya=bx ==> abaya=abx ==>aya=abx

===> x=abx (2)

----------------conclusion : xf = ex = x

pour x = e , ===> ef=ee=e

pour x=f , ===> ff=ef=f

donc ab=ba=e
--------------------

2) conséquence: b= symetrique de a

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