probleme

en pose dans plan 2n point n des point est vert et le reste est rouge
supposent que a et b des point rouge
monterer qui'il existe une application f: ensemble des point rouge ----->ensemble des point verts
tel que : [af(a)] et [bf(b)] se coupe pas

Bonjour,

Je reformule :
Soit n entier supérieur ou égal à 1.
Soient dans le plan n points verts et n points rouges.
Montrer qu'il existe une application f de l'ensemble des points rouges dans l'ensemble des points verts telle que :
Pour tous points rouges distincts A et B, les segments [Af(A)] et [Bf(B)] n'ont aucun point commun.

C'est faux :
prendre n = 2, les deux points rouges en (0,0) et (1,0) et les deux points verts en (2,0) et (3,0)

Je pense qu'il faut donc reformuler différemment le problème :
Soit n entier supérieur ou égal à 1.
Soient dans le plan n points verts et n points rouges, 3 de ces 2n points n'étant jamais alignés.
Montrer qu'il existe une application f de l'ensemble des points rouges dans l'ensemble des points verts telle que :
Pour tous points rouges distincts A et B, les segments [Af(A)] et [Bf(B)] n'ont aucun point commun.

Je pense alors qu'on peut le démontrer par récurrence :

Pour n=1, c'est trivial.
Pour n > 1 :
Soit E un point intérieur à l'enveloppe convexe des 2n points et aligné avec aucun couple de points parmi les 2n points.
Nota : 3 points quelconque parmi les 2n n'étant jamais alignés et 2n étant > 2, cette enveloppe convexe est non vide.

Soit D une droite quelconque passant par E et par aucun autre des 2n points. Elle matérialise deux demi-plans possédant nécessairement chacun au moins un des 2n points (sinon E ne serait pas à l'intérieur de l'enveloppe convexe).
Soit un de ces demi-plans et soit d le nombre de points rouges moins le nombre de points verts contenus dans ce demi-plan.
Si d est non nul, et en faisant pivoter la droite autour de E, je fais passer d de sa valeur jusqu'à -d pas pas de +1 ou -1 en tournant de 180 degrés.
Nota : le pas est de -1 ou +1 (et non -2 ou +2) parce que E n'est aligné avec aucun couple de points parmi les 2n.
Il existe donc une position de la droite pour laquelle d = 0.
Dans cette position, chacun des deux demi-plans contient un nombre égal (strictement inférieur à n et strictement positif) de points rouges et verts. l'hypothèse de récurrence s'applique et je peux fabriquer mes segments non sécants dans chaque demi-plan. Par construction, les segments d'un demi-plan sont non sécants avec ceux de l'autre et j'ai donc construit mon application pour n.
CQFD

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Patrick