fonctions

on a f derivable sur I , avec: m=<f(x)=<M
demontrer que:
a<b ==> m(a-b)=<f(b)-f(a)=<M(b-a)
deduire que:
(b-a)/cos²b=<tanb-tana=<(b-a)/cos²a

botmane a écrit:

on a f derivable sur I , avec: m=<f'(x)=<M
demontrer que:
a<b ==> m(a-b)=<f(b)-f(a)=<M(b-a)
deduire que:
(b-a)/cos²b=<tanb-tana=<(b-a)/cos²a

BSR botmane !!

J'ai rectifié sur ton énoncé : m<=f ' (x) <=M
c'est la DERIVEE de f qui est supposée BORNEE sur I .
1) Tu devras utiliser le TAF sur [a;b] , il te donnera l'existence d'un c compris entre a et b tel que
f(b)-f(a)=(b-a).f'(c)
Or m<=f'(c)<=M et comme b-a>0 alors :
(b-a).m<=(b-a).f'(c)<=(b-a).M c.à.d m.(a-b)=<f(b)-f(a)=<M.(b-a)
2) Tu appliqueras le résultat 1) à la fonction
x -----------> f(x)=Tan(x) sur I=[-Pi/4;Pi/4] par exemple en se rappelant que {Tan(x)}'=1/{Cos(x)}^2 et c'est tout ....
Dans ce cas là , on a aussi f'(x)=1+Tan^2(x) donc tu trouveras m=1 et M=2 .

Bonne Soirée !!!

merci beaucoup,

svp vous pouvez m'expliquer le principe du TAF ?

botmane a écrit:

merci beaucoup,

svp vous pouvez m'expliquer le principe du TAF ?

Bien Sûr Othmane & Avec plaisir !!
Si f est une fonction définie et continue sur un segment [a;b] ; dérivable sur ]a;b[ alors il existe un élément c compris entre a et b tel que :
f(b)-f(a)=(b-a). f '(c)
ou f ' désigne la dérivée de f .

Voili-Voilou !!
TAF signifie : Théorème des Accroissements Finis et c'est vu en BACSM .

merci encore

j'ai bien compris!

ndiro dalla !

hhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhh
hhhhhhhhhhhh

BSR Othmane !!

Pour la 2ème Question !!
Tu appliqueras le résultat 1) à la fonction
x -----------> f(x)=Tan(x) en se rappelant que
f '(x)={Tan(x)}'=1/{Cos(x)}^2=1+Tan^2(x)
Dans un premier temps , il existe c tel que a<=c<=b qui vérifie :
Tan(b) - Tan(a)= {b-a}/Cos^2(c)
Maintenant , pour avoir ce qu' il te faut , tu devras GARANTIR que
1/Cos^2(b) <=1/Cos^2(c) <=1/Cos^2(a)
soit Cos^2(a)<=Cos^2(c)<=Cos^2(b)
Il faudra donc s'assurer que la fonction
x ------> Cos^2(x) soit croissante sur [a;b]
ce qui conduira à davantage de réflexion !!!!
Je pense que si tu prends I=]-Pi/2;0] celà fera l'affaire !!!!

salut à tous !!!

si en cas que f' est continue on peut utiliser l'integrale...

m < f'(x) < M ===> m(b-a) < f(b)-f(a) < M(b-a). (b>a)
....

et merci

PS: j'ai edité pour pardonner car j'ai pas fais attention sur la topique demandé ben c'est de TSM
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lahoucine

bien ODL hh

bian mathema

mhido1992 a écrit:

bien ODL hh

amjad92b a écrit:

bian mathema

keske vous avez??

vous imitez quelqu'un?

bien tout le monde !!