tous les point sont périodiques

Soit f : [0, 1] --->[0, 1] une fonction continue telle que f(0) = 0.
On suppose que pour tout x de [0, 1], il existe un entier n de IN
tel que f^n(x) = x (où f^n = fofo···of itérée n fois de f ).

Montrer que f(x)=x qqs x de [0,1]

soit x dans [0,1] . supposons que x différent de f(x).
on sait qu'il existe un entier n(non nul ) tel que f^n(x) = x .
si f(x)<x (H1):
d'après (H1) on peut dire qu'on a f^n(x)<f(x) (recurrence sur n)
donc x<f(x) (absurde)
si f(x)>x (H2):
on aurait d'après (H2) f^n(x) > f(x)(recurrence sur n)
comme f^n(x) = x alors x>f(x) (absurde)
dans tous les cas c'st absurde .
donc f(x)=x.
est ce juste ?(si oui pourquoi je n'ai pas utilisé la contiuité de f ni le faite que f(0)=0)

methenniachref a écrit:

soit x dans [0,1] . supposons que x différent de f(x).
on sait qu'il existe un entier n(non nul ) tel que f^n(x) = x .
si f(x)<x (H1):
d'après (H1) on peut dire qu'on a f^n(x)<f(x) (recurrence sur n)
donc x<f(x) (absurde)
si f(x)>x (H2):
on aurait d'après (H2) f^n(x) > f(x)(recurrence sur n)
comme f^n(x) = x alors x>f(x) (absurde)
dans tous les cas c'st absurde .
donc f(x)=x.
est ce juste ?(si oui pourquoi je n'ai pas utilisé la contiuité de f ni le faite que f(0)=0)

Non ce n'est pas juste.
Essayer de montrer que f est bijective

qu'est ce qui est faux exactement?

pour la bijectivé de f c'est directe il suffit de remarquer que :
f^(n-1)of(x) est injective et que fof^(n-1)(x) est surjective.

est ce qu'il y a , une autre indication !!

mq f est injectif

soit x,y tq f(x)=f(y) pour x et y il existe n et m£N* tq f^n(x)=x et f^m(y)=y


on f(x)=f(y)==> x=f^n(y) et y=f^m(x)

A={i£N*\f^i(y)=x} on A nn vide n£A et A c N donc soit i sont plus petit element
B={i£N*\f^i(x)=y} on B et non vide car m£B et B c N donc soit j sont plus petit element

si i>j

f^j(x)=y==>x=f^(i-j)(y) donc i-j£A absurde car i-j<i

de meme si j>i

donc i=j

donc f(x)=f(y)==>f^i(x)=f^i(y)==>x=y donc f injectif

f injectif avec continue donne monotone stricte

et avec f(0)=0 donc f croisant strict le reste c'est facile

.

voila
soit x,y £[0,1] tq f(x)=f(y) **
il existe m,n tq f^n(x)=x et f^m(y)=y
appliquons fof..of mn-1 fois sur **
on a donc x=y
alors f est injective
donc strictement monotone
soit par exemple croissante
supposons qu'il existe x tq f(x)#x par exemple f(x)<x
alors fof(x)<f(x)<x et donc par recurence f^p(x)<x et donc x<x absurde
je croi

oui avec f(0)=0 f sera bien croissante

[quote="yassine-mansouri"]voila
soit x,y £[0,1] tq f(x)=f(y) **
il existe m,n tq f^n(x)=x et f^m(y)=y
appliquons fof..of mn-1 fois sur **
on a donc x=y
alors f est injective
donc strictement monotone
soit par exemple croissante
supposons qu'il existe x tq f(x)#x par exemple f(x)

oui pk??
en effet
si f^n(x)=x alors f^2n(x)=fofo....of(x) (2n foi )
et donc f^2n(x)=f^n(f^n(x)=f^n(x)=f(x)
alors par recurence f^qn((x)=f^n(x)=x avec q£N
si f(x)=f(y) alors on appliquons fofo..of mn-1 foi on aura
f^mn(x)=f^mn(y)
pour x f^mn(x)=f^n(x)=x et pour y f^mn(y)=f^m(y)=y
c bon mntn je croi

yassine-mansouri a écrit:

oui pk??
en effet
si f^n(x)=x alors f^2n(x)=fofo....of(x) (2n foi )
et donc f^2n(x)=f^n(f^n(x)=f^n(x)=f(x)
alors par recurence f^qn((x)=f^n(x)=x avec q£N
si f(x)=f(y) alors on appliquons fofo..of mn-1 foi on aura
f^mn(x)=f^mn(y)
pour x f^mn(x)=f^n(x)=x et pour y f^mn(y)=f^m(y)=y
c bon mntn je croi

BJR Yassine !!
Aucun soucis ! C'est JUSTE ...
Tu aurais pu considérer aussi k=PPCM(n,m) puis appliquer comme tu le fais f^k au lieu de f^(nm)

Bonjour Mr
oui biensur c juste ^^
A+

yassine-mansouri a écrit:

oui pk??
en effet
si f^n(x)=x alors f^2n(x)=fofo....of(x) (2n foi )
et donc f^2n(x)=f^n(f^n(x)=f^n(x)=f(x)
alors par recurence f^qn((x)=f^n(x)=x avec q£N
si f(x)=f(y) alors on appliquons fofo..of mn-1 foi on aura
f^mn(x)=f^mn(y)
pour x f^mn(x)=f^n(x)=x et pour y f^mn(y)=f^m(y)=y
c bon mntn je croi

oui yassine c'est correct , j'avais justement ps compris le mn-1

ya pa de probleme
ça arrive
c moi qui n'ai pas bien clarifié la reponse