convergence d'un serie

Soit f:IR+---->IR+ une fonction de classe C1 et Lim(x->+inf)f'(x)/f(x)=-inf
Montez que la série de terme général

Soit A>0, il existe B>0 tel que x>=B ===> f'(x)<-Af(x)

Soit g(x)=f(x)exp(Ax) pour x>=B
==> g'(x)=(f'(x)+Af(x))exp(Ax)<0 ==> g strict décroissante
==> qqs x>=B , g(x)< g(B)
==> qqs x>=B , f(x)< exp(-Ax+AB)f(B)=M exp(-Ax)

==> qqs n>=B, f(n)=<M exp(-An) terme général d'une série géom. cv puisque 0<exp(-A)<1

==> la série cv

Bien vu abdelbaki

BSR à Tous et Toutes !!

C'est bien celà Mr ATTIOUI !
Le début de votre Démo c'est tout à fait le Lemme de GRONWALL très usité en Calcul Différentiel que l'on re-découvre dans cette application aux Séries !!!

Bsr a tous,
La demonstration est très intéressante j'ai démarrer de la même façon sauf que j'ai utilisé le critère d'Alembert pour montrer la convergence de la série .
Bonne continuation à bientôt.