ax+by=c

salam à tous

dans Z:

soit n un entier fixé

trouver (x,y) tels que :

x.n² - y.(n+1)² = 1

---------------------------------------

où sont -t-ils ....les amateurs de l'arithmétique ??????


.

????????????

????????????????????

?????????????????????????

.

c 'est que ce n est pas tres clair mais j'y reflechi comme meme.

pgcd ((n)²,(n+1)²) = 1
Il suffit de trouver une solution à l'équation pour trouver l'ensemble des solutions .
Bonne chance

salam

justement : ce fameux : il suffit....................?????

comment s'en sortir

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alors si la réponse vous interesse , je la posterais.


.

oui mais ca on l 'as tous remarqué d'ailleurs c ca la question c'est de trouver une solution.essaye plutot de poster une methode parceque comme ca c'est pas clair du tout

oui stp houssa vas y

n = 0 => y = -1.

n = -1 => x = 1.
n = 1 => équation facile.
prend u = ( 2 - n² ) et v = - (n - 1)²

On a : n² ( x - u ) = ( n + 1 )² ( y - v )
=> Gauss .......
x = k(n+1)²+u et y=kn²+u
avec (n-1) et (n+1) et n différents de 0 (j'avais oublier ça)
END

comment c'est pas clair ?

c'est une équation à deux inconnus entiers et n joue le rôle d'un paramètre.

--------------------tout d'abord :

cas : n=0 ====> -y=1

donc x= qcq dans Z et y = -1.

------------------
cas n#0:

===> n(nx-ny-2y) = y+1 =====> n divise (y+1)

donc : y+1 = kn , k € Z. ===> y = kn -1

on remplace y

===> nx = n(kn+2k+1) + k+2 ====> n divise (k+2)

===> k +2 = pn , p € Z ===> k = pn -2

on remplace:

===> x = (pn-2)(n+2)+p+1 et y = (pn-2)n -1 , p € Z

...........................................................

réciproquement: cherchons les solutions valables:

on remplace x et y dans l'équation

et avec un peu de patience : le p disparait et il reste :

2n(n+2) = 0 , comme n # 0 ===> n=-2

c'est à dire que: cette équation n'a de solutions que dans deux cas:

n=0 ou n= -2

------------

pour n= -2 , on revient aux resultats :

x=p+1 et y = 4p+3 avec p € Z

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je crois que ma solution est complète et claire maintenant .

desolé des erreurs sont survenues

rectifier:

on remplace y ..................

c'est k - 2 = pn ===> k = pn +2

====> les solutions sont

x = p(n+1)² + 2n+3

y = pn² + 2n -1 , p € Z

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en vérifant : elles sont toutes valables

je signale à anass que pour moi les solutions particulieres

sont : 2n+3 , 2n-1 qui ne sont pas visibles facilement

même les tiennes aussi.

bonne nuit à tous.

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