Facile

Voici l'inégalité qui nous a été posé au olympiade d'hier

on a : abcd=1

montrez que :
a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd>=10

lol application direct de AM-GM.[je sais po pourquoi ils posent des inégos comme ca]

je crois que tu as oublié d'ajouter que le tous est positifs sinon on ne peut prouver cet égualité
nous avons
(V(ab)+V(cd))²>=0 ===> ab+cd>= 2V(abcd) ===> ab+cd>=2
tu fait le meme avec les autres et tus trouveras que
ab+cd >= 2 et ac+bd >= 2 et ad+bc >= 2
donc on conclut que ab+ac+ad+bc+bd+cd>= 6 *
et nous avons a²+b² >= 2ab (la meme chose moutatabi9a hama)
donc a²+b² >= 2/(cd)
et nous avons c²+d² >= 2cd
on conclut donc que a²+b²+c²+d² >= 2(cd +1/(cd))
et nous avons cd +1/(cd) >=2 (la meme chose moutatabi9a hama) donc 2(cd +1/(cd)) >= 4
donc a²+b²+c²+d² >= 4 **
de * et ** on conclut que a²+b²+c²+d²+ab+ac+ad+bc+bd+cd>=10
merci pour l'exo est j'espere que tu continues a nous envoyer les autres exercices SVP.

BRavo abdellah=einstein
mé t fé une petite faute de frappe c (V(ab)-V(cd))²>=0
et non (V(ab)+V(cd))²>=0

Ah merci

Voici d'autres exos:

-sois abc un triangle et m de [bc], la droite parallele à (am) qui passe par b coupe (ac) en n, et la droite parallele à (am) et qui passe par c coupe (ab) en p.

Montrez que : 1/AM = 1/BN + 1/CP

---------------------------------------------------------------------------

- o et c deux point du cercle (r), on considere un autre cercle (r') son centre o qui coupe l'hypoténus [oc] en d tel que d#c et coupe le cercle (r) en 2 points a et b

montrez que d est le centre du cercle entouré par le triangle abc

samix a écrit:

Voici d'autres exos:

-sois abc un triangle et m de [bc], la droite parallele à (am) qui passe par b coupe (ac) en n, et la droite parallele à (am) et qui passe par c coupe (ab) en p.

Montrez que : 1/AM = 1/BN + 1/CP

---------------------------------------------------------------------------

- o et c deux point du cercle (r), on considere un autre cercle (r') son centre o qui coupe l'hypoténus [oc] en d tel que d#c et coupe le cercle (r) en 2 points a et b

montrez que d est le centre du cercle entouré par le triangle abc

pour le premier il est très facile:
donc on va utiliser la theoreme de Thales dans le triangle CBN et APC on aura:
- AM= BN*AC/CN
- BN/CP=AN/AC
AM=BN*AC/CN
1/AM= CN/BN*AC
1/AM= (1/BN)*(CN/AC)
1/AM= 1/BN(AC/AC+AN/AC)
1/AM= 1/BN(1+BN/CP)
d'où: 1/AM= 1/BN+1/CP
voilà