olympiades 1990

soient a,b,x,y des entiers (appartenant à Z) tel que

(ax)^2+2abxy+(b^2+1)y^2<b^2+1 et b^2<a

montrer que x=y=0

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salimt a écrit:

soient a,b,x,y des entiers (appartenant à Z) tel que
(ax)^2+2abxy+(b^2+1)y^2<b^2+1 et b^2<a
montrer que x=y=0

L'inégalité est équivalente à (x-x_1)(x-x_2) < 0 ou x_1=(-b-V(b²-y²+1))/a et x_2=(-b+V(b²-y²+1))/a,

x_2-x_1=2V(b²-y²+1)/a > 0 (car a>0 et si b²-y²+1=0 on aura y=1 et b=0 => (ax)²<0 ce qui est absurde) => x_2>x_1;

alors x_1<x<x_2

d'autre part 1-(x_2-x_1)²=(a²-4b²+4(y²-1))/a² > (a-2)²/a² >0 (car a>b² et si a=2=>b=1=>2x²+2xy+(y²-1)<0=>Delta>=0=>y=1=>absurde)

on déduit que 0 < x_2-x_1 < 1=> x=0 =>(b²+1)(y²-1)<0=>y=0,

on conclut que x=y=0.

ce n'est pas très clair vu l'écriture d'abord comment tu as fait pour la première ligne?